Calcule o valor de em cada caso:
(i) e são paralelas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular o valor de em que as retas e são paralelas. Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre retas no espaço. Para resolver, vamos precisar entender como representar as retas e usar o conceito de vetores diretores para verificar o paralelismo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como estão definidas as retas e . A reta é dada pelas equações:
E a reta é definida por:
Para facilitar, vamos parametrizar essas retas, ou seja, expressar e em termos de um parâmetro .

Passo 3

Começando com a reta , vamos resolver as equações para expressar e em função de :
  1. Da segunda equação de : .
  2. Substituindo na primeira equação: .
Vamos escolher como parâmetro:
Então, a parametrização de fica:

Passo 4

Agora, vamos parametrizar a reta . A equação dada é . Vamos usar como parâmetro:
Então, a parametrização de é:

Passo 5

Para que as retas e sejam paralelas, os vetores diretores delas devem ser proporcionales. O vetor diretor de é e de é .
Isso significa que existe uma constante tal que:
Vamos resolver para e .

Passo 6

Igualando componente a componente:
Substituindo na primeira equação:
E verificando na segunda:

Resposta

O valor de é .

Exercícios relacionados

Considere o paralelogramo e sejam e os pontos médios dos lados e , respectivamente. Mostre que
Obtenha equações da forma planar para as seguintes retas:
©
Sejam e . Determine, se possível: , tal que e sejam perpendiculares.
Sejam e . Determine, se possível: , tal que e sejam coplanares.