Calcule o valor de m em cada caso:
r:l x-m y+1=0 y-z-1=0 s: x=ym=z
(i) r e s são paralelas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular o valor de em que as retas e são paralelas. Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre retas no espaço. Para resolver, vamos precisar entender como representar as retas e usar o conceito de vetores diretores para verificar o paralelismo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como estão definidas as retas x - m y + 1 = 0 y - z - 1 = 0 e x = ym = z . A reta é dada pelas equações:
E a reta é definida por:
Para facilitar, vamos parametrizar essas retas, ou seja, expressar e em termos de um parâmetro .

Passo 3

Começando com a reta x = m t - 1, y = t, z = t - 1 , vamos resolver as equações para expressar r(t) = (m t - 1, t, t - 1) e em função de :
  1. Da segunda equação de : .
  2. Substituindo na primeira equação: .
Vamos escolher como parâmetro:
Então, a parametrização de fica:

Passo 4

Agora, vamos parametrizar a reta x = t, y = m t, z = t . A equação dada é s(t) = (t, m t, t) . Vamos usar como parâmetro:
Então, a parametrização de é:

Passo 5

Para que as retas (m, 1, 1) = k cdot (1, m, 1) e sejam paralelas, os vetores diretores delas devem ser proporcionales. O vetor diretor de é e de é .
Isso significa que existe uma constante tal que:
Vamos resolver para e .

Passo 6

Igualando componente a componente:
  1. m = 1 1 = 1 cdot 1 (confere)
Substituindo na primeira equação:
E verificando na segunda:

Resposta

O valor de é .

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