Calcule o valor de
em cada caso:
(i)
e
são paralelas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular o valor de
em que as retas
e
são paralelas. Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica, especificamente sobre retas no espaço. Para resolver, vamos precisar entender como representar as retas e usar o conceito de vetores diretores para verificar o paralelismo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como estão definidas as retas
e
. A reta
é dada pelas equações:
E a reta
é definida por:
Para facilitar, vamos parametrizar essas retas, ou seja, expressar
e
em termos de um parâmetro
.
Passo 3
Começando com a reta
, vamos resolver as equações para expressar
e
em função de
:
- Da segunda equação de
: . - Substituindo na primeira equação:
.
Vamos escolher
como parâmetro:
Então, a parametrização de
fica:
Passo 4
Agora, vamos parametrizar a reta
. A equação dada é
. Vamos usar
como parâmetro:
Então, a parametrização de
é:
Passo 5
Para que as retas
e
sejam paralelas, os vetores diretores delas devem ser proporcionales. O vetor diretor de
é
e de
é
.
Isso significa que existe uma constante
tal que:
Vamos resolver para
e
.
Passo 6
Igualando componente a componente:
Substituindo
na primeira equação:
E verificando na segunda:
Resposta
O valor de
é
.