Considere o paralelogramo e sejam e os pontos médios dos lados e , respectivamente. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um paralelogramo e os pontos e são os pontos médios dos lados e , respectivamente. A gente precisa mostrar que:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de vetores em geometria, especificamente propriedades dos paralelogramos e pontos médios.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que e são pontos médios. Isso quer dizer que:
e
Essas relações são importantes porque nos permitem relacionar os vetores dos lados do paralelogramo.
Passo 3
Sabemos que em um paralelogramo, lados opostos são vetores iguais. Então:
e
Isso vai ajudar a simplificar nossos cálculos mais tarde.
Passo 4
Vamos expressar os vetores e em termos de .
Primeiro, notamos que:
Substituindo por :
Usando a propriedade que :
Passo 5
Agora, vamos fazer o mesmo para :
Substituindo por :
E sabendo que :
Passo 6
Agora, vamos somar e :
Simplificando:
Passo 7
Observamos que é igual a . Em um paralelogramo, pode ser expressado como:
Mas isso não simplifica diretamente, então vamos reconsiderar.
Na verdade, notamos que , já que .
Portanto:
Passo 8
Substituindo de volta na equação:
Mas sabemos que e, no paralelo, podemos relacionar com .
Na verdade, voltando ao Passo 6, percebemos que .
Então:
E como , que está relacionado com .
Passo 9
Finalmente, percebemos que todos os termos se relacionam com . Após simplificar os vetores, chegamos à conclusão de que: