Sejam e . Determine, se possível: , tal que e sejam perpendiculares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o valor de de tal forma que os planos e sejam perpendiculares. Isso está dentro do conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente sobre planos no espaço tridimensional e vetores normais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são vetores normais e como usar o produto escalar para verificar a perpendicularidade entre dois planos.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os vetores normais dos planos e . A equação geral de um plano é dada por:
onde o vetor é o vetor normal ao plano.
Para o plano , o vetor normal é:
Para o plano , o vetor normal é:

Passo 3

Agora, para que os planos e sejam perpendiculares, seus vetores normais devem ser perpendiculares. Isso significa que o produto escalar entre e deve ser igual a zero.
O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores normais:

Passo 4

Vamos igualar o produto escalar a zero e resolver para :

Resposta

O valor de que torna os planos e perpendiculares é .

Exercícios relacionados

Calcule o valor de em cada caso:
(i) e são paralelas.
Considere o paralelogramo e sejam e os pontos médios dos lados e , respectivamente. Mostre que
Sejam e . Determine, se possível: , tal que e sejam coplanares.
Sejam os vetores e em .
(a) Escreva como combinação linear de e .
(b) O vetor pode ser escrito como combinação linear de e ? Justifique.
© Para que valores de o vetor se escreve como combinação linear de ?
(d) Encontre condições sobre e de modo que o vetor seja combinação linear de e .