Sejam alpha: 2 x+B y+z+1=0, beta: x+y+z2+D=0, r: x-1=-y+23=z4 e s:lx=1+h y=h z=A, h in R. Determine, se possível: B, tal que alpha e beta sejam perpendiculares.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o valor de de tal forma que os planos e sejam perpendiculares. Isso está dentro do conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente sobre planos no espaço tridimensional e vetores normais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são vetores normais e como usar o produto escalar para verificar a perpendicularidade entre dois planos.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os vetores normais dos planos Ax + By + Cz + D = 0 e nalpha = (2, , B, , 1) . A equação geral de um plano é dada por:
nbeta = (1, , 1, , 12)
onde o vetor é o vetor normal ao plano.
Para o plano , o vetor normal é:
Para o plano , o vetor normal é:

Passo 3

Agora, para que os planos u cdot v = u1v1 + u2v2 + u3v3 e nalpha cdot nbeta = 2 cdot 1 + B cdot 1 + 1 cdot 12 sejam perpendiculares, seus vetores normais devem ser perpendiculares. Isso significa que o produto escalar entre e deve ser igual a zero.
O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores normais:

Passo 4

Vamos igualar o produto escalar a zero e resolver para 2 cdot 1 + B cdot 1 + 1 cdot 12 = 0 :
2 + B + 12 = 0
B + 52 = 0
B = -52

Resposta

O valor de que torna os planos e perpendiculares é .

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