Sejam e . Determine, se possível: , tal que e sejam perpendiculares.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o valor de de tal forma que os planos e sejam perpendiculares. Isso está dentro do conteúdo de Geometria Analítica, mais especificamente sobre planos no espaço tridimensional e vetores normais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são vetores normais e como usar o produto escalar para verificar a perpendicularidade entre dois planos.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os vetores normais dos planos e . A equação geral de um plano é dada por:
onde o vetor é o vetor normal ao plano.
Para o plano , o vetor normal é:
Para o plano , o vetor normal é:
Passo 3
Agora, para que os planos e sejam perpendiculares, seus vetores normais devem ser perpendiculares. Isso significa que o produto escalar entre e deve ser igual a zero.
O produto escalar de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos nossos vetores normais:
Passo 4
Vamos igualar o produto escalar a zero e resolver para :
Resposta
O valor de que torna os planos e perpendiculares é .