Calcule o valor de m e n para que a reta esteja contida no plano.
37. Encontre as equações reduzidas na variável x da reta r de interseção dos planos
pi1: x+y-z+2=0 e pi2: x+y+2 z-1=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as equações reduzidas na variável da reta , que é a interseção dos planos e . Isso está relacionado ao conteúdo de Geometria Analítica, especificamente à interseção de planos para determinar uma reta. Para resolver isso, vamos precisar manipular as equações dos planos para expressar e em função de .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações dos dois planos:
pi1: x + y - z + 2 = 0
pi2: x + y + 2z - 1 = 0
Nosso objetivo é encontrar e em termos de .

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações para expressar (x + y + 2z - 1) - (x + y - z + 2) = 0 e x + y + 2z - 1 - x - y + z - 2 = 0 em função de 3z - 3 = 0 . Podemos fazer isso usando o método de eliminação.
Subtraia a equação de da equação de :

Passo 4

Agora, resolvemos para 3z - 3 = 0 :
3z = 3
z = 1
Então, temos que é constante e igual a 1.

Passo 5

Com o valor de x + y - z + 2 = 0 , podemos substituir de volta em uma das equações originais para encontrar x + y - 1 + 2 = 0 (pois z = 1) em função de x + y + 1 = 0 . Vamos usar a equação de y = -x - 1 :

Passo 6

Agora temos y = -x - 1 em função de z = 1 e constante. Então, podemos escrever as equações reduzidas na variável :

Resposta

As equações reduzidas na variável y = -x - 1 da reta z = 1 de interseção dos planos são:

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