Verificar se a reta está contida no plano : b) e
33. Calcue os valores de m e n para que a reta r esteja contida no plano pi
r:l y=3-2 t x=-2+t e pi: m x+2 y-3 z+n=0 z=2 t
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os valores de e de forma que a reta esteja contida no plano . Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre a relação entre uma reta e um plano. Precisamos entender as equações paramétricas da reta e a equação geral do plano para fazer isso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações da reta r: x = -2 + t y = 3 - 2t z = 2t de forma mais clara:
pi: m x + 2 y - 3 z + n = 0
E a equação do plano é:
Para a reta estar contida no plano, todo ponto da reta deve satisfazer a equação do plano. Ou seja, para qualquer valor de , as coordenadas da reta devem satisfazer .
Passo 3
Vamos substituir as expressões de m (-2 + t) + 2 (3 - 2t) - 3 (2t) + n = 0 , e da reta na equação do plano:
Agora, vamos simplificar essa equação.
Passo 4
Distribuindo os termos:
-2m + m t + 6 - 4t - 6t + n = 0
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(m t - 4t - 6t) + (-2m + 6 + n) = 0
Isso simplifica para:
(m - 10) t + (-2m + 6 + n) = 0
Passo 5
Para que essa equação seja verdadeira para qualquer valor de m - 10 = 0 -2m + 6 + n = 0 , os coeficientes de e o termo constante devem ser iguais a zero. Portanto, temos o seguinte sistema de equações:
Passo 6
Vamos resolver o primeiro a equação m = 10 :
-2(10) + 6 + n = 0 -20 + 6 + n = 0 -14 + n = 0 n = 14
Agora, substituímos na segunda equação:
Resposta
Os valores que satisfazem a reta estar contida no plano são e .