Verdadeiro ou Falso? No caso de ser verdadeiro provar a afirmativa e no caso de ser falso exibir um contra-exemplo.
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Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se a igualdade é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, precisamos provar; se for falsa, devemos dar um contra-exemplo. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre transposição de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transposta de um produto de matrizes não é simplesmente o produto das transpostas na mesma ordem. Na verdade, há uma regra específica para isso.

Passo 3

A regra correta diz que a transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas na ordem inversa. Ou seja:

Passo 4

Comparando isso com a afirmação da questão, vemos que a ordem das matrizes transpostas está invertida. Então, a igualdade não segue essa regra.

Passo 5

Para confirmar que a afirmação é falsa, vamos dar um contra-exemplo simples.

Passo 6

Considere as matrizes:

Passo 7

Calculando :

Passo 8

Agora, a transposta de :

Passo 9

Calculando as transpostas separadamente:

Passo 10

Multiplicando :

Passo 11

Comparando com :

Resposta

Falso. A igualdade não é verdadeira em geral, como mostramos no contra-exemplo acima.

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