Verdadeiro ou Falso? No caso de ser verdadeiro provar a afirmativa e no caso de ser falso exibir um contra-exemplo.
© (A B)^t=A^t B^t;

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se a igualdade (A B)^t = A^t B^t é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, precisamos provar; se for falsa, devemos dar um contra-exemplo. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre transposição de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a transposta de um produto de matrizes não é simplesmente o produto das transpostas na mesma ordem. Na verdade, há uma regra específica para isso.

Passo 3

A regra correta diz que a transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas na ordem inversa. Ou seja:
(A B)^t = B^t A^t

Passo 4

Comparando isso com a afirmação da questão, vemos que a ordem das matrizes transpostas está invertida. Então, a igualdade (A B)^t = A^t B^t não segue essa regra.

Passo 5

Para confirmar que a afirmação é falsa, vamos dar um contra-exemplo simples.

Passo 6

Considere as matrizes:
A = 1 & 2 3 & 4 , B = 0 & 1 1 & 0

Passo 7

Calculando A B:
A B = 1 times 0 + 2 times 1 & 1 times 1 + 2 times 0 3 times 0 + 4 times 1 & 3 times 1 + 4 times 0 = 2 & 1 4 & 3

Passo 8

Agora, a transposta de A B:
(A B)^t = 2 & 4 1 & 3

Passo 9

Calculando as transpostas separadamente:
A^t = 1 & 3 2 & 4 , B^t = 0 & 1 1 & 0

Passo 10

Multiplicando A^t B^t:
A^t B^t = 1 times 0 + 3 times 1 & 1 times 1 + 3 times 0 2 times 0 + 4 times 1 & 2 times 1 + 4 times 0 = 3 & 1 4 & 2

Passo 11

Comparando (A B)^t com A^t B^t:
(A B)^t = 2 & 4 1 & 3 neq 3 & 1 4 & 2 = A^t B^t

Resposta

Falso. A igualdade (A B)^t = A^t B^t não é verdadeira em geral, como mostramos no contra-exemplo acima.

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