Verdadeiro ou Falso? No caso de ser verdadeiro provar a afirmativa e no caso de ser falso exibir um contra-exemplo.
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Passo 1
Ok, vamos lá! A questão pede para a gente dizer se a igualdade
é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, precisamos provar; se for falsa, devemos dar um contra-exemplo. Vamos usar conceitos de álgebra linear, especialmente sobre transposição de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a transposta de um produto de matrizes não é simplesmente o produto das transpostas na mesma ordem. Na verdade, há uma regra específica para isso.
Passo 3
A regra correta diz que a transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas na ordem inversa. Ou seja:
Passo 4
Comparando isso com a afirmação da questão, vemos que a ordem das matrizes transpostas está invertida. Então, a igualdade
não segue essa regra.
Passo 5
Para confirmar que a afirmação é falsa, vamos dar um contra-exemplo simples.
Passo 6
Considere as matrizes:
Passo 7
Calculando
:
Passo 8
Agora, a transposta de
:
Passo 9
Calculando as transpostas separadamente:
Passo 10
Multiplicando
:
Passo 11
Comparando
com
:
Resposta
Falso. A igualdade
não é verdadeira em geral, como mostramos no contra-exemplo acima.