Determinar o ^angulo entre as seguintes retas:

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede pra encontrar o ângulo entre duas retas. Isso tá relacionado ao conteúdo de Geometria Analítica, especificamente sobre vetores e o ângulo entre eles. Pra resolver isso, vamos precisar das equações das retas, identificar os vetores diretores delas e usar a fórmula do cosseno para calcular o ângulo.

Passo 2

Primeiro, bora entender as equações das retas que a gente tem. Olhando o enunciado:
Parece que tem um probleminha na notação, mas vamos interpretar da melhor forma possível. Vamos reescrever as equações de forma mais clara.
Para a reta :
Não tem informação sobre , então podemos assumir que varia livremente.
Para a reta :
Aqui, é sempre 4, e é igual a .

Passo 3

Agora, vamos colocar essas retas na forma paramétrica para facilitar a identificação dos vetores diretores.
Para :
Como varia livremente, vamos usar um parâmetro .
éâ
Podemos escrever o vetor diretor de como .
Para :
O valor de é sempre 4, então só e variam juntos. Vamos usar um parâmetro .
O vetor diretor de é .

Passo 4

Agora que temos os vetores diretores das duas retas, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre eles. A fórmula é:
Onde:
  • é o produto escalar dos vetores.
  • e são os módulos (comprimentos) dos vetores.
Vamos calcular cada parte.
Primeiro, o produto escalar:
Agora, os módulos dos vetores:

Passo 5

Substituindo na fórmula do cosseno:
Agora, para encontrar o ângulo , tiramos o arco cosseno de :

Resposta

O ângulo entre as retas e é de 60 graus.

Exercícios relacionados

Dada a equação geral do plano determine um sistema de equações paramétricas desse plano.
40. Encontre a distância entre os pontos e nos casos abaixo:
a) e
Calcule o valor de e para que a reta esteja contida no plano.
37. Encontre as equações reduzidas na variável da reta de interseção dos planos
Calcule o valor de para que sejam concorrentes as seguintes retas:
Encontre a distância entre os pontos e : e
41. Encontre a distancia entre o ponto e a reta dada.
a) e .