Determinar o ^angulo entre as seguintes retas:
r1:
z=x-2^e r2: y=z+1-1 ; x=4

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede pra encontrar o ângulo entre duas retas. Isso tá relacionado ao conteúdo de Geometria Analítica, especificamente sobre vetores e o ângulo entre eles. Pra resolver isso, vamos precisar das equações das retas, identificar os vetores diretores delas e usar a fórmula do cosseno para calcular o ângulo.

Passo 2

Primeiro, bora entender as equações das retas que a gente tem. Olhando o enunciado:
r1: z = x - 2^e r2: y = z + 1 - 1 ; x = 4
Parece que tem um probleminha na notação, mas vamos interpretar da melhor forma possível. Vamos reescrever as equações de forma mais clara.
Para a reta z = x - 2 :
x = 4 y = z
Não tem informação sobre , então podemos assumir que varia livremente.
Para a reta :
Aqui, é sempre 4, e é igual a .

Passo 3

Agora, vamos colocar essas retas na forma paramétrica para facilitar a identificação dos vetores diretores.
Para x = t y = s (onde s é um parâmetro qualquer) z = t - 2 :
Como x = 4 y = t z = t varia livremente, vamos usar um parâmetro .
éâ
Podemos escrever o vetor diretor de como .
Para :
O valor de é sempre 4, então só e variam juntos. Vamos usar um parâmetro .
O vetor diretor de é .

Passo 4

Agora que temos os vetores diretores das duas retas, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre eles. A fórmula é:
cos theta = u cdot v|u| cdot |v|
Onde:
  • u cdot v = (1)(0) + (0)(1) + (1)(1) = 0 + 0 + 1 = 1 é o produto escalar dos vetores.
  • |u| = raiz1^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 + 0 + 1 = raiz2 e |v| = raiz0^2 + 1^2 + 1^2 = raiz0 + 1 + 1 = raiz2 são os módulos (comprimentos) dos vetores.
Vamos calcular cada parte.
Primeiro, o produto escalar:
Agora, os módulos dos vetores:

Passo 5

Substituindo na fórmula do cosseno:
cos theta = 1raiz2 cdot raiz2 = 12
Agora, para encontrar o ângulo theta = cos^-1(12) = 60^circ , tiramos o arco cosseno de :

Resposta

O ângulo entre as retas e é de 60 graus.

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