Dada a equação geral do plano determine um sistema de equações paramétricas desse plano.
40. Encontre a distância entre os pontos e nos casos abaixo:
a) e
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação geral de um plano: . Queremos encontrar um sistema de equações paramétricas para esse plano. Para isso, precisamos identificar um ponto que pertença ao plano e dois vetores que estejam contidos nele. Esses vetores serão usados para expressar qualquer ponto do plano de forma paramétrica.
Passo 2
Vamos encontrar um ponto que satisfaça a equação do plano. Para facilitar, vamos escolher valores para duas das variáveis e resolver para a terceira. Por exemplo, se escolhermos e , substituindo na equação:
Então, um ponto no plano é .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar dois vetores diretores que estão no plano. Para isso, vamos encontrar duas soluções distintas para a equação do plano, mantendo e como parâmetros. Vamos resolver a equação para :
Podemos expressar e em termos de parâmetros e :
Substituindo na expressão de :
Portanto, as equações paramétricas são:
Passo 4
Agora, vamos para a segunda parte do exercício: encontrar a distância entre os pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 e . Para calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional, usamos a fórmula da distância: