Dada a equação geral do plano pi: 3 x-2 y-z-6=0 determine um sistema de equações paramétricas desse plano.
40. Encontre a distância entre os pontos P1 e P2 nos casos abaixo:
a) P1(-2,0,1) e P2(1,-4,3)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação geral de um plano: . Queremos encontrar um sistema de equações paramétricas para esse plano. Para isso, precisamos identificar um ponto que pertença ao plano e dois vetores que estejam contidos nele. Esses vetores serão usados para expressar qualquer ponto do plano de forma paramétrica.

Passo 2

Vamos encontrar um ponto que satisfaça a equação do plano. Para facilitar, vamos escolher valores para duas das variáveis e resolver para a terceira. Por exemplo, se escolhermos 3(0) - 2(0) - z - 6 = 0 implies -z - 6 = 0 implies z = -6 e , substituindo na equação:
Então, um ponto no plano é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dois vetores diretores que estão no plano. Para isso, vamos encontrar duas soluções distintas para a equação do plano, mantendo 3x - 2y - z - 6 = 0 implies z = 3x - 2y - 6 e x = t y = s como parâmetros. Vamos resolver a equação para z = 3t - 2s - 6 :
x = t y = s z = 3t - 2s - 6
Podemos expressar e em termos de parâmetros e :
Substituindo na expressão de :
Portanto, as equações paramétricas são:

Passo 4

Agora, vamos para a segunda parte do exercício: encontrar a distância entre os pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 e . Para calcular a distância entre dois pontos no espaço tridimensional, usamos a fórmula da distância:

Passo 5

Vamos identificar as coordenadas dos pontos:
P1(x1, y1, z1) = (-2, 0, 1) P2(x2, y2, z2) = (1, -4, 3)

Passo 6

Substituindo na fórmula:
d = raiz(1 - (-2))^2 + (-4 - 0)^2 + (3 - 1)^2 d = raiz(3)^2 + (-4)^2 + (2)^2 d = raiz9 + 16 + 4 d = raiz29

Resposta

  1. As equações paramétricas do plano são:
x = t y = s z = 3t - 2s - 6
  1. A distância entre os pontos e é unidades.

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