Calcule o valor de para que a reta : seja paralela ao plano .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma reta definida por um ponto e um vetor diretor . Também temos um plano definido pelo ponto e pelos vetores diretores e . Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz com que a reta seja paralela ao plano . Para isso, vamos precisar entender conceitos de geometria vetorial como vetores normais, paralelismo entre reta e plano, e operações com vetores.

Passo 2

Para que a reta seja paralela ao plano, o vetor diretor da reta deve estar contido no próprio plano. Isso significa que o vetor diretor da reta deve ser paralelo ao plano . Uma forma de garantir isso é fazendo com que o vetor diretor da reta seja ortogonal ao vetor normal do plano. Portanto, primeiro precisamos encontrar o vetor normal do plano .

Passo 3

O vetor normal do plano pode ser encontrado fazendo o produto vetorial dos vetores diretores do plano. Os vetores diretores do plano são e . Vamos calcular o produto vetorial .

Passo 4

Calculando o produto vetorial :
Então, o vetor normal do plano é .

Passo 5

Agora que temos o vetor normal do plano , queremos que o vetor diretor da reta seja paralelo ao plano. Para isso, deve ser ortogonal a . Isso significa que o produto escalar entre e deve ser igual a zero.

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar :
Para que seja ortogonal a , devemos ter:

Resposta

Portanto, o valor de é .

Exercícios relacionados

Descreva todos os ideais do anel . Tais ideais são os único ideais de ? Justifique.
Seja e
Mostre que é um ideal à esquerda de , mas não é um ideal à direita de .
Verifique que é ideal de e determine tal que .
As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas. . i) Encontre as coordenadas polares do ponto, onde e . ii) Encontre as coordenadas polares do ponto, onde e .