Calcule o valor de m para que a reta r : X=(1,1,1)+alpha(2, m, 1) seja paralela ao plano pi: X=(0,0,0)+beta(1,2,0)+gamma(1,0,1).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos uma reta definida por um ponto e um vetor diretor . Também temos um plano definido pelo ponto e pelos vetores diretores e . Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz com que a reta seja paralela ao plano . Para isso, vamos precisar entender conceitos de geometria vetorial como vetores normais, paralelismo entre reta e plano, e operações com vetores.

Passo 2

Para que a reta seja paralela ao plano, o vetor diretor da reta deve estar contido no próprio plano. Isso significa que o vetor diretor da reta deve ser paralelo ao plano . Uma forma de garantir isso é fazendo com que o vetor diretor da reta seja ortogonal ao vetor normal do plano. Portanto, primeiro precisamos encontrar o vetor normal do plano .

Passo 3

O vetor normal do plano pode ser encontrado fazendo o produto vetorial dos vetores diretores do plano. Os vetores diretores do plano são e . Vamos calcular o produto vetorial .

Passo 4

Calculando o produto vetorial u times v = i & j & k 1 & 2 & 0 1 & 0 & 1 = i(2 cdot 1 - 0 cdot 0) - j(1 cdot 1 - 0 cdot 1) + k(1 cdot 0 - 2 cdot 1) :
= i(2) - j(1) + k(-2)
= (2, -1, -2)
Então, o vetor normal do plano é .

Passo 5

Agora que temos o vetor normal do plano , queremos que o vetor diretor da reta seja paralelo ao plano. Para isso, deve ser ortogonal a . Isso significa que o produto escalar entre e deve ser igual a zero.

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar d cdot n = 2 cdot 2 + m cdot (-1) + 1 cdot (-2) = 4 - m - 2 = 2 - m :
2 - m = 0
Para que seja ortogonal a , devemos ter:

Resposta

Portanto, o valor de é .

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