Verifique que é ideal de e determine tal que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto é um ideal de e, em seguida, descobrir qual número positivo satisfaz . Isso está dentro da área de Álgebra, mais especificamente em Ideais em Anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ideal, verificar se satisfaz as propriedades de um ideal e, por fim, encontrar esse número .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que é divisível por 18. Podemos simplificar essa condição dividindo ambos os lados por 2: se é divisível por 18, então deve ser divisível por 9, ou seja, .

Passo 3

Agora, se , significa que também deve ser divisível por 3. Porque se o quadrado de um número é divisível por 9, então o número em si tem que ser divisível por 3. Portanto, para algum inteiro .

Passo 4

Então, o conjunto consiste de todos os inteiros que são múltiplos de 3. Isso é exatamente o conjunto , ou seja, todos os números inteiros da forma , onde é um inteiro.

Passo 5

Agora, precisamos verificar se é um ideal de . Em , todo ideal é gerado por um único elemento, e satisfaz essa condição. Além disso, é fechado sob adição e subtração, e multiplicação por qualquer inteiro também resulta em um múltiplo de 3.

Resposta

O conjunto é um ideal de e pode ser representado como . Portanto, .

Exercícios relacionados

Calcule o valor de para que a reta : seja paralela ao plano .
Descreva todos os ideais do anel . Tais ideais são os único ideais de ? Justifique.
As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas. . i) Encontre as coordenadas polares do ponto, onde e . ii) Encontre as coordenadas polares do ponto, onde e .
Determine as coordenadas da projeção ortogonal do ponto sobre o plano .