Verifique que
é ideal de
e determine
tal que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o conjunto
é um ideal de
e, em seguida, descobrir qual número positivo
satisfaz
. Isso está dentro da área de Álgebra, mais especificamente em Ideais em Anéis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um ideal, verificar se
satisfaz as propriedades de um ideal e, por fim, encontrar esse número
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que
é divisível por 18. Podemos simplificar essa condição dividindo ambos os lados por 2: se
é divisível por 18, então
deve ser divisível por 9, ou seja,
.
Passo 3
Agora, se
, significa que
também deve ser divisível por 3. Porque se o quadrado de um número é divisível por 9, então o número em si tem que ser divisível por 3. Portanto,
para algum inteiro
.
Passo 4
Então, o conjunto
consiste de todos os inteiros que são múltiplos de 3. Isso é exatamente o conjunto
, ou seja, todos os números inteiros da forma
, onde
é um inteiro.
Passo 5
Agora, precisamos verificar se
é um ideal de
. Em
, todo ideal é gerado por um único elemento, e
satisfaz essa condição. Além disso,
é fechado sob adição e subtração, e multiplicação por qualquer inteiro também resulta em um múltiplo de 3.
Resposta
O conjunto
é um ideal de
e pode ser representado como
. Portanto,
.