Seja
e
Mostre que
é um ideal à esquerda de
, mas não é um ideal à direita de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos o conjunto
, que representa todas as matrizes 2x2 com entradas reais. O conjunto
é definido como:
Queremos mostrar que
é um ideal à esquerda de
, mas que não é um ideal à direita. Para isso, vamos precisar entender o que é um ideal à esquerda e à direita, e como verificar essas propriedades em
.
Passo 2
Vamos começar verificando se
é um subespaço vetorial de
. Para ser um subespaço,
precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero.
- É fechado sob adição.
- É fechado sob multiplicação por escalar.
No nosso caso, a matriz zero está claramente em
. Se pegarmos duas matrizes de
e somarmos, o resultado ainda terá zeros na segunda coluna. Além disso, multiplicando uma matriz de
por qualquer número real, os zeros na segunda coluna permanecem. Portanto,
é um subespaço vetorial de
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é um ideal à esquerda. Isso significa que, para qualquer matriz
e qualquer matriz
, o produto
deve estar em
.
Vamos considerar:
e
Multiplicando
por
:
Observamos que o produto resultante também tem zeros na segunda coluna, portanto
. Assim,
é fechado sob multiplicação à esquerda por qualquer elemento de
, confirmando que
é um ideal à esquerda.
Passo 4
Agora, vamos verificar se
é um ideal à direita. Isso significa que, para qualquer matriz
e qualquer matriz
, o produto
deve estar em
.
Vamos usar as mesmas matrizes
e
de antes:
Para que
pertença a
, a segunda coluna deve ser zero. No entanto, a segunda coluna é
, que não é necessariamente zero a menos que
. Como não podemos garantir que
para todo
,
não é fechado sob multiplicação à direita.
Resposta
Portanto,
é um ideal à esquerda de
, mas não é um ideal à direita de
.
Exercícios relacionados
Determine se os seguintes conjuntos de polinômios formam subespaços de
:
(d) O conjunto de todos os polinômios cuja derivada é zero.
(d) O conjunto de todos os polinômios cuja derivada é zero.
Seja
um homomorfismo de anéis e
, então a.r
e
para todo
.
Descreva todos os ideais do anel
. Tais ideais são os único ideais de
? Justifique.
Calcule o valor de
para que a reta
:
seja paralela ao plano
.