Seja A=M2(R) e
I=[ll u & 0 v & 0 ] in M2(R)
Mostre que I é um ideal à esquerda de A, mas não é um ideal à direita de A.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos o conjunto I = [ll u & 0 v & 0 ] in M2(R) , que representa todas as matrizes 2x2 com entradas reais. O conjunto é definido como:
Queremos mostrar que é um ideal à esquerda de , mas que não é um ideal à direita. Para isso, vamos precisar entender o que é um ideal à esquerda e à direita, e como verificar essas propriedades em .

Passo 2

Vamos começar verificando se é um subespaço vetorial de . Para ser um subespaço, precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado sob adição.
  3. É fechado sob multiplicação por escalar.
No nosso caso, a matriz zero está claramente em . Se pegarmos duas matrizes de e somarmos, o resultado ainda terá zeros na segunda coluna. Além disso, multiplicando uma matriz de por qualquer número real, os zeros na segunda coluna permanecem. Portanto, é um subespaço vetorial de .

Passo 3

Agora, vamos verificar se a = [ll a11 & a12 a21 & a22 ] in A é um ideal à esquerda. Isso significa que, para qualquer matriz x = [ll u & 0 v & 0 ] in I e qualquer matriz a cdot x = [ll a11u + a12v & 0 a21u + a22v & 0 ] , o produto deve estar em .
Vamos considerar:
e
Multiplicando por :
Observamos que o produto resultante também tem zeros na segunda coluna, portanto . Assim, é fechado sob multiplicação à esquerda por qualquer elemento de , confirmando que é um ideal à esquerda.

Passo 4

Agora, vamos verificar se x cdot a = [ll u a11 + 0 a21 & u a12 + 0 a22 v a11 + 0 a21 & v a12 + 0 a22 ] = [ll u a11 & u a12 v a11 & v a12 ] é um ideal à direita. Isso significa que, para qualquer matriz l u a12 v a12 e qualquer matriz , o produto deve estar em .
Vamos usar as mesmas matrizes e de antes:
Para que pertença a , a segunda coluna deve ser zero. No entanto, a segunda coluna é , que não é necessariamente zero a menos que . Como não podemos garantir que para todo , não é fechado sob multiplicação à direita.

Resposta

Portanto, é um ideal à esquerda de , mas não é um ideal à direita de .

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