As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas. (2,-2). i) Encontre as coordenadas polares r, theta do ponto, onde r>0 e 0 <= theta <= 2 pi. ii) Encontre as coordenadas polares r, theta do ponto, onde r<0 e 0 <= theta <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para converter as coordenadas cartesianas do ponto (2,-2) para coordenadas polares. Isso faz parte da matéria de vetores e geometria analítica. Para resolver, vamos precisar usar as fórmulas de conversão entre coordenadas cartesianas (x, y) e polares (r, theta).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas polares onde r > 0 e 0 <= theta <= 2pi. Para isso, usamos as seguintes fórmulas:
r = raizx^2 + y^2
theta = arctan(yx)
Essas fórmulas nos ajudam a calcular a distância do ponto à origem ( r) e o ângulo que o raio forma com o eixo positivo x ( theta).

Passo 3

Vamos calcular r:
r = raiz2^2 + (-2)^2 = raiz4 + 4 = raiz8 = 2raiz2
Agora, calculamos theta:
theta = arctan(-22) = arctan(-1)
Sabemos que arctan(-1) = -pi4. Como queremos que theta esteja entre 0 e 2pi, adicionamos 2pi:
theta = -pi4 + 2pi = 7pi4

Passo 4

Agora, vamos encontrar as coordenadas polares onde r < 0 mantendo 0 <= theta <= 2pi. Quando r é negativo, o ponto fica na direção oposta. Então, para ajustar theta, adicionamos pi:
r = -2raiz2
theta = 7pi4 - pi = 3pi4
Isso garante que r seja negativo e theta esteja no intervalo correto.

Resposta

i) Coordenadas polares com r > 0:
r = 2raiz2, theta = 7pi4
ii) Coordenadas polares com r < 0:
r = -2raiz2, theta = 3pi4

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