Descreva todos os ideais do anel Z4=0, 1, 2, 3. Tais ideais são os único ideais de Z4 ? Justifique.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para descrever todos os ideais do anel Z4 = 0, 1, 2, 3. Estamos lidando com a teoria dos anéis, especificamente com os ideais. Para resolver, vamos identificar todos os subconjuntos de Z4 que satisfazem as propriedades de ideal e verificar se não existem outros além desses.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal em um anel. Um ideal I de um anel R é um subconjunto de R que é um subanel e, além disso, para qualquer elemento r in R e i in I, os produtos r cdot i e i cdot r também estão em I. No caso de Z4, que é um anel com elementos 0, 1, 2, 3, precisamos encontrar todos esses subconjuntos que cumprem essas condições.

Passo 3

Vamos analisar os possíveis subconjuntos:
  1. Ideal trivial: 0. Este é sempre um ideal em qualquer anel, pois só contém o elemento neutro.
  2. Ideal gerado por 2: 0, 2. Vamos verificar se isso é um ideal:
    • Fechamento sob adição: 2 + 2 = 0 in 0, 2.
    • Fechamento sob multiplicação por qualquer elemento de Z4:
      • 1 cdot 2 = 2 in 0, 2.
      • 3 cdot 2 = 6 = 2 in 0, 2.
        Portanto, 0, 2 é um ideal.
  3. Anel inteiro: Z4. Claro, todo anel é um ideal de si mesmo.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se existem outros ideais além desses. Em Z4, os ideais são determinados pelos divisores de 4. Já listamos todos eles: 0, 0, 2 e Z4. Não há outros subconjuntos que cumpram as propriedades de ideal.

Resposta

Os ideais de Z4 são 0, 0, 2 e Z4. Esses são os únicos ideais de Z4.

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