Descreva todos os ideais do anel
. Tais ideais são os único ideais de
? Justifique.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para descrever todos os ideais do anel
. Estamos lidando com a teoria dos anéis, especificamente com os ideais. Para resolver, vamos identificar todos os subconjuntos de
que satisfazem as propriedades de ideal e verificar se não existem outros além desses.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal em um anel. Um ideal
de um anel
é um subconjunto de
que é um subanel e, além disso, para qualquer elemento
e
, os produtos
e
também estão em
. No caso de
, que é um anel com elementos
, precisamos encontrar todos esses subconjuntos que cumprem essas condições.
Passo 3
Vamos analisar os possíveis subconjuntos:
-
Ideal trivial:
. Este é sempre um ideal em qualquer anel, pois só contém o elemento neutro. -
Ideal gerado por
: . Vamos verificar se isso é um ideal: - Fechamento sob adição:
. - Fechamento sob multiplicação por qualquer elemento de
: -
. -
.
Portanto,é um ideal.
-
- Fechamento sob adição:
-
Anel inteiro:
. Claro, todo anel é um ideal de si mesmo.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se existem outros ideais além desses. Em
, os ideais são determinados pelos divisores de
. Já listamos todos eles:
,
e
. Não há outros subconjuntos que cumpram as propriedades de ideal.
Resposta
Os ideais de
são
,
e
. Esses são os únicos ideais de
.
Exercícios relacionados
Seja
e
Mostre que
é um ideal à esquerda de
, mas não é um ideal à direita de
.
Determine se os seguintes conjuntos de polinômios formam subespaços de
:
(d) O conjunto de todos os polinômios cuja derivada é zero.
(d) O conjunto de todos os polinômios cuja derivada é zero.
Calcule o valor de
para que a reta
:
seja paralela ao plano
.
Verifique que
é ideal de
e determine
tal que
.