Descreva todos os ideais do anel . Tais ideais são os único ideais de ? Justifique.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para descrever todos os ideais do anel . Estamos lidando com a teoria dos anéis, especificamente com os ideais. Para resolver, vamos identificar todos os subconjuntos de que satisfazem as propriedades de ideal e verificar se não existem outros além desses.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um ideal em um anel. Um ideal de um anel é um subconjunto de que é um subanel e, além disso, para qualquer elemento e , os produtos e também estão em . No caso de , que é um anel com elementos , precisamos encontrar todos esses subconjuntos que cumprem essas condições.

Passo 3

Vamos analisar os possíveis subconjuntos:
  1. Ideal trivial: . Este é sempre um ideal em qualquer anel, pois só contém o elemento neutro.
  2. Ideal gerado por : . Vamos verificar se isso é um ideal:
    • Fechamento sob adição: .
    • Fechamento sob multiplicação por qualquer elemento de :
      • .
      • .
        Portanto, é um ideal.
  3. Anel inteiro: . Claro, todo anel é um ideal de si mesmo.

Passo 4

Agora, precisamos verificar se existem outros ideais além desses. Em , os ideais são determinados pelos divisores de . Já listamos todos eles: , e . Não há outros subconjuntos que cumpram as propriedades de ideal.

Resposta

Os ideais de são , e . Esses são os únicos ideais de .

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Seja e
Mostre que é um ideal à esquerda de , mas não é um ideal à direita de .
Determine se os seguintes conjuntos de polinômios formam subespaços de :
(d) O conjunto de todos os polinômios cuja derivada é zero.
Calcule o valor de para que a reta : seja paralela ao plano .
Verifique que é ideal de e determine tal que .