Calcule o valor de m para que sejam concorrentes as retas:
r1:l y=2 x-5 z=-x+2 e r2: x-5=ym=z+1

Passo 1

Entendendo o Problema
Vamos calcular o valor de para que as retas e sejam concorrentes, ou seja, que se cruzem em um único ponto.
Conteúdo da Matéria:
  • Equações de retas no espaço tridimensional.
  • Sistema de equações para encontrar pontos de interseção.
O que vamos precisar:
  • Resolver sistemas de equações lineares.
  • Igualar as equações das retas para encontrar o valor de .

Passo 2

Escrevendo as Equações das Retas
Primeiro, vamos reescrever as equações das retas de forma clara:
Para y = 2x - 5 z = -x + 2 :
ym = x - 5 = z + 1
Para :

Passo 3

Parametrizando a Reta x = t + 5 y = m t z = t - 1
Vamos expressar as equações de em termos de um parâmetro comum, digamos :
Aqui, escolhemos para facilitar a parametrização.

Passo 4

Expressando y = 2x - 5 z = -x + 2 e y = 2(t + 5) - 5 = 2t + 10 - 5 = 2t + 5 z = -(t + 5) + 2 = -t - 5 + 2 = -t - 3 em com o Parâmetro
Na reta , temos:
Substituindo :

Passo 5

Igualando as Coordenadas de 2t + 5 = m t -t - 3 = t - 1 e
Para que as retas sejam concorrentes, as coordenadas devem ser iguais. Portanto:

Passo 6

Resolvendo a Segunda Equação para Encontrar -t - 3 = t - 1
Vamos resolver a equação:
-3 = 2t - 1
Somando -2 = 2t aos dois lados:
t = -1
Adicionando 1 aos dois lados:
Dividindo por 2:

Passo 7

Encontrando o Valor de 2(-1) + 5 = m (-1)
Substituindo -2 + 5 = -m na primeira equação:
3 = -m
m = -3

Resposta

O valor de para que as retas e sejam concorrentes é .

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