Calcule o valor de
para que sejam concorrentes as retas:
Passo 1
Entendendo o Problema
Vamos calcular o valor de
para que as retas
e
sejam concorrentes, ou seja, que se cruzem em um único ponto.
Conteúdo da Matéria:
- Equações de retas no espaço tridimensional.
- Sistema de equações para encontrar pontos de interseção.
O que vamos precisar:
- Resolver sistemas de equações lineares.
- Igualar as equações das retas para encontrar o valor de
.
Passo 2
Escrevendo as Equações das Retas
Primeiro, vamos reescrever as equações das retas de forma clara:
Para
:
Para
:
Passo 3
Parametrizando a Reta
Vamos expressar as equações de
em termos de um parâmetro comum, digamos
:
Aqui, escolhemos
para facilitar a parametrização.
Passo 4
Expressando
y = 2x - 5 z = -x + 2 e
y = 2(t + 5) - 5 = 2t + 10 - 5 = 2t + 5 z = -(t + 5) + 2 = -t - 5 + 2 = -t - 3 em
com o Parâmetro
Na reta
, temos:
Substituindo
:
Passo 5
Igualando as Coordenadas de
2t + 5 = m t -t - 3 = t - 1 e
Para que as retas sejam concorrentes, as coordenadas devem ser iguais. Portanto:
Passo 6
Resolvendo a Segunda Equação para Encontrar
-t - 3 = t - 1
Vamos resolver a equação:
Somando
-2 = 2t aos dois lados:
Adicionando 1 aos dois lados:
Dividindo por 2:
Passo 7
Encontrando o Valor de
2(-1) + 5 = m (-1)
Substituindo
-2 + 5 = -m na primeira equação:
Resposta
O valor de
para que as retas
e
sejam concorrentes é
.