Seja o espaço vetorial sobre das funções de em (funções reais). Quais dos seguintes conjuntos de funções abaixo são subespaços de ?
a) todas as funções reais tais que
b) todas as funções reais tais que
c) todas as funções contínuas de em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que verificar quais dos conjuntos de funções dadas são subespaços do espaço vetorial , que é o conjunto de todas as funções reais de em . Para saber se um subconjunto é um subespaço, precisamos checar três coisas:
  1. Contém o vetor zero: ou seja, a função que sempre dá zero.
  2. Fechamento pela adição: se você pegar duas funções do conjunto e somar elas, o resultado também deve estar no conjunto.
  3. Fechamento pela multiplicação por escalar: se você multiplicar uma função do conjunto por um número real qualquer, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos analisar cada item (a, b, c) seguindo esses passos.

Passo 2

Item a) Todas as funções reais tais que .
Primeiro, vamos ver se a função zero está nesse conjunto:
  • A função zero é .
  • Verificando e .
  • Então, é verdade para a função zero.
Agora, vamos checar se o conjunto é fechado pela adição e pela multiplicação por escalar:
  • Suponha e estão no conjunto, então e .
  • Vamos ver se está no conjunto:
    • .
    • .
    • Para , precisaríamos que para todo , o que nem sempre é verdade.
  • Portanto, o conjunto não é fechado pela adição.
Como já quebramos uma das condições, não precisa verificar a multiplicação por escalar. Assim, esse conjunto não é um subespaço de .

Passo 3

Item b) Todas as funções reais tais que .
Vamos verificar as três condições:
  1. Função zero:
    • e .
    • Então, é verdadeiro para a função zero.
  2. Fechamento pela adição:
    • Se e , então para :
      • .
      • .
      • Como e , então .
  3. Fechamento pela multiplicação por escalar:
    • Se , então para qualquer escalar :
      • .
      • .
      • Como , então .
Todas as três condições são satisfeitas, então esse conjunto é um subespaço de .

Passo 4

Item c) Todas as funções contínuas de em .
Vamos verificar as três condições:
  1. Função zero:
    • A função zero é contínua, então está no conjunto.
  2. Fechamento pela adição:
    • A soma de duas funções contínuas é contínua. Se e são contínuas, então também é.
  3. Fechamento pela multiplicação por escalar:
    • Multiplicar uma função contínua por um escalar resulta em uma função contínua.
Como todas as condições são atendidas, esse conjunto é um subespaço de .

Resposta

a) Não é um subespaço.
b) É um subespaço.
c) É um subespaço.

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