Seja
o espaço vetorial sobre
das funções de
em
(funções reais). Quais dos seguintes conjuntos de funções abaixo são subespaços de
?
a) todas as funções reais tais que
b) todas as funções reais tais que
c) todas as funções contínuas de
em
.
a) todas as funções reais tais que
b) todas as funções reais tais que
c) todas as funções contínuas de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que verificar quais dos conjuntos de funções dadas são subespaços do espaço vetorial
, que é o conjunto de todas as funções reais de
em
. Para saber se um subconjunto é um subespaço, precisamos checar três coisas:
- Contém o vetor zero: ou seja, a função que sempre dá zero.
- Fechamento pela adição: se você pegar duas funções do conjunto e somar elas, o resultado também deve estar no conjunto.
- Fechamento pela multiplicação por escalar: se você multiplicar uma função do conjunto por um número real qualquer, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos analisar cada item (a, b, c) seguindo esses passos.
Passo 2
Item a) Todas as funções reais tais que
.
Primeiro, vamos ver se a função zero está nesse conjunto:
- A função zero é
. - Verificando
e . - Então,
é verdade para a função zero.
Agora, vamos checar se o conjunto é fechado pela adição e pela multiplicação por escalar:
- Suponha
e estão no conjunto, então e . - Vamos ver se
está no conjunto: -
. -
. - Para
, precisaríamos que para todo , o que nem sempre é verdade.
-
- Portanto, o conjunto não é fechado pela adição.
Como já quebramos uma das condições, não precisa verificar a multiplicação por escalar. Assim, esse conjunto não é um subespaço de
.
Passo 3
Item b) Todas as funções reais tais que
.
Vamos verificar as três condições:
-
Função zero:
-
e . - Então,
é verdadeiro para a função zero.
-
-
Fechamento pela adição:
- Se
e , então para : -
. -
. - Como
e , então .
-
- Se
-
Fechamento pela multiplicação por escalar:
- Se
, então para qualquer escalar : -
. -
. - Como
, então .
-
- Se
Todas as três condições são satisfeitas, então esse conjunto é um subespaço de
.
Passo 4
Item c) Todas as funções contínuas de
em
.
Vamos verificar as três condições:
-
Função zero:
- A função zero é contínua, então está no conjunto.
-
Fechamento pela adição:
- A soma de duas funções contínuas é contínua. Se
e são contínuas, então também é.
- A soma de duas funções contínuas é contínua. Se
-
Fechamento pela multiplicação por escalar:
- Multiplicar uma função contínua por um escalar resulta em uma função contínua.
Como todas as condições são atendidas, esse conjunto é um subespaço de
.
Resposta
a) Não é um subespaço.
b) É um subespaço.
c) É um subespaço.
Exercícios relacionados
Determine equações paramétricas da reta que passa pelos pontos
e
nos seguintes casos:
Dados os polinômios
e
em
. Responda:
(a) Mostre que é uma base de
.
(b) Enconre a matriz onde
é base de
.
© Use a matriz para exprimir o polinômio
como uma combinação linear dos elementos da base
.
(a) Mostre que
(b) Enconre a matriz
© Use a matriz
Seja
um espaço vetorial sobre um corpo
. Mostre que:
(i) Existe único tal que
, para todo
.
(ii) Para qualquer vetor
(iii) Se , onde
e
, então
ou
.
(i) Existe único
(ii) Para qualquer vetor
(iii) Se
Calcule o valor de
para que sejam concorrentes as retas: