Consideremos o seguinte produto interno em
, sendo
e
. Dados os vetores
e
, calcular:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente está trabalhando com produto interno no espaço de polinômios de grau no máximo 2, que é chamado de
. Precisamos calcular as normas dos polinômios
e
usando o produto interno definido como:
Onde
e
. Vamos calcular
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é norma em um espaço com produto interno. A norma de um vetor (ou polinômio, no nosso caso)
é dada por:
Isso nos dá uma medida do “tamanho” de
nesse espaço. Então, para achar a norma de
e
, precisamos primeiro calcular o produto interno deles consigo mesmos.
Passo 3
Vamos calcular
. Primeiro, identificamos os coeficientes de
:
Então,
,
, e
.
Agora, aplicamos a fórmula do produto interno:
Então, a norma de
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Primeiro, identificamos os coeficientes de
:
Então,
,
, e
.
Aplicando a fórmula do produto interno:
Então, a norma de
é:
Resposta
A norma dos polinômios é
e
.
Exercícios relacionados
Calcule o valor de
para que sejam concorrentes as retas:
Seja
um espaço vetorial sobre um corpo
. Mostre que:
(i) Existe único tal que
, para todo
.
(ii) Para qualquer vetor
(iii) Se , onde
e
, então
ou
.
(i) Existe único
(ii) Para qualquer vetor
(iii) Se
Seja o Plano
, calcule: O ponto de abscissa 2 e cuja ordenada é o dobro da cota;
Prove que, a igualdade na Desigualdade de Cauchy-Schwarz é válida se, e somente se, os vetores linearmente dependentes.