Consideremos o seguinte produto interno em P2: p q=a2 b2+a1 b1+a0 b0, sendo p=a2 x^2+a1 x+a0 e q=b2 x^2+b1 x+b0. Dados os vetores p1=x^2-2 x+3, p2=3 x-4 e p3=1-x^2, calcular: |p1| e|p2|

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente está trabalhando com produto interno no espaço de polinômios de grau no máximo 2, que é chamado de P2. Precisamos calcular as normas dos polinômios p1 = x^2 - 2x + 3 e p2 = 3x - 4 usando o produto interno definido como:
p cdot q = a2 b2 + a1 b1 + a0 b0
Onde p = a2 x^2 + a1 x + a0 e q = b2 x^2 + b1 x + b0. Vamos calcular |p1| e |p2|.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é norma em um espaço com produto interno. A norma de um vetor (ou polinômio, no nosso caso) p é dada por:
|p| = raizp cdot p
Isso nos dá uma medida do “tamanho” de p nesse espaço. Então, para achar a norma de p1 e p2, precisamos primeiro calcular o produto interno deles consigo mesmos.

Passo 3

Vamos calcular |p1|. Primeiro, identificamos os coeficientes de p1:
p1 = 1 cdot x^2 + (-2) cdot x + 3
Então, a2 = 1, a1 = -2, e a0 = 3.
Agora, aplicamos a fórmula do produto interno:
p1 cdot p1 = a2 cdot a2 + a1 cdot a1 + a0 cdot a0 = (1)^2 + (-2)^2 + (3)^2 = 1 + 4 + 9 = 14
Então, a norma de p1 é:
|p1| = raiz14 approx 3,7417

Passo 4

Agora, vamos calcular |p2|. Primeiro, identificamos os coeficientes de p2:
p2 = 0 cdot x^2 + 3 cdot x + (-4)
Então, a2 = 0, a1 = 3, e a0 = -4.
Aplicando a fórmula do produto interno:
p2 cdot p2 = a2 cdot a2 + a1 cdot a1 + a0 cdot a0 = (0)^2 + (3)^2 + (-4)^2 = 0 + 9 + 16 = 25
Então, a norma de p2 é:
|p2| = raiz25 = 5

Resposta

A norma dos polinômios é |p1| = raiz14 approx 3,7417 e |p2| = 5.

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