Consideremos o seguinte produto interno em
, sendo
e
. Dados os vetores
e
, calcular:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente está trabalhando com produto interno no espaço de polinômios de grau no máximo 2, que é chamado de
. Precisamos calcular as normas dos polinômios
e
usando o produto interno definido como:
Onde
e
. Vamos calcular
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é norma em um espaço com produto interno. A norma de um vetor (ou polinômio, no nosso caso)
é dada por:
Isso nos dá uma medida do “tamanho” de
nesse espaço. Então, para achar a norma de
e
, precisamos primeiro calcular o produto interno deles consigo mesmos.
Passo 3
Vamos calcular
. Primeiro, identificamos os coeficientes de
:
Então,
,
, e
.
Agora, aplicamos a fórmula do produto interno:
Então, a norma de
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Primeiro, identificamos os coeficientes de
:
Então,
,
, e
.
Aplicando a fórmula do produto interno:
Então, a norma de
é:
Resposta
A norma dos polinômios é
e
.