Consideremos o seguinte produto interno em , sendo e . Dados os vetores e , calcular:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente está trabalhando com produto interno no espaço de polinômios de grau no máximo 2, que é chamado de . Precisamos calcular as normas dos polinômios e usando o produto interno definido como:
Onde e . Vamos calcular e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é norma em um espaço com produto interno. A norma de um vetor (ou polinômio, no nosso caso) é dada por:
Isso nos dá uma medida do “tamanho” de nesse espaço. Então, para achar a norma de e , precisamos primeiro calcular o produto interno deles consigo mesmos.

Passo 3

Vamos calcular . Primeiro, identificamos os coeficientes de :
Então, , , e .
Agora, aplicamos a fórmula do produto interno:
Então, a norma de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular . Primeiro, identificamos os coeficientes de :
Então, , , e .
Aplicando a fórmula do produto interno:
Então, a norma de é:

Resposta

A norma dos polinômios é e .

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(i) Existe único tal que , para todo .
(ii) Para qualquer vetor
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