Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Mostre que:
(i) Existe único x in V tal que u+x=v, para todo u, v in V.
(ii) Para qualquer vetor u in V, 0 cdot u=0
(iii) Se k cdot u=0, onde k in K e u in V, então k=0 ou u=0.

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado pede. Temos um espaço vetorial V sobre um corpo K e precisamos provar três afirmações:
  1. Existe um único vetor x em V que, somado a qualquer vetor u, resulta em outro vetor v.
  2. Multiplicar qualquer vetor u por zero do corpo K resulta no vetor zero.
  3. Se a multiplicação de um escalar k por um vetor u dá o vetor zero, então ou k é zero ou u é o vetor zero.
Para resolver isso, vamos usar as propriedades fundamentais dos espaços vetoriais, como a existência de elementos inversos e as regras de multiplicação por escalar.

Passo 2

Parte (i): Existe um único x in V tal que u + x = v.
Primeiro, vamos entender que queremos encontrar um vetor x que, quando adicionado a u, dá v. Isso significa que x deve ser o vetor que “compensa” u para chegar em v.

Passo 3

Sabemos que em um espaço vetorial, para qualquer vetor u, existe um vetor inverso, que chamamos de -u, tal que u + (-u) = 0, onde 0 é o vetor nulo.

Passo 4

Então, para encontrar x tal que u + x = v, podemos isolar x:
x = v + (-u)
Aqui, -u é o inverso de u.

Passo 5

Agora, precisamos mostrar que esse x é único. Suponha que existam dois vetores x e y tais que u + x = v e u + y = v. Então:
u + x = u + y Rightarrow x = y
Logo, x é único.

Passo 6

Parte (ii): Para qualquer vetor u in V, 0 cdot u = 0.
Aqui, 0 é o escalar do corpo K e também o vetor nulo de V. Queremos mostrar que multiplicar qualquer vetor por zero resulta no vetor zero.

Passo 7

Usamos a propriedade da multiplicação por escalar que diz:
0 cdot u = 0
Isso faz parte das axiomas de um espaço vetorial, garantindo que multiplicar por zero sempre dá o vetor nulo.

Passo 8

Parte (iii): Se k cdot u = 0, onde k in K e u in V, então k = 0 ou u = 0.
Queremos provar que se o produto de um escalar por um vetor é o vetor zero, então pelo menos um dos dois fatores deve ser zero.

Passo 9

Suponha que k neq 0 e u neq 0. Como K é um corpo, todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo. Então, podemos multiplicar ambos os lados da equação k cdot u = 0 por k^-1:
k^-1 cdot (k cdot u) = k^-1 cdot 0 Rightarrow (k^-1k) cdot u = 0 Rightarrow 1 cdot u = u = 0
Isso implica que u = 0, o que contraria nossa suposição de u neq 0. Portanto, nossa hipótese inicial deve estar errada, ou seja, k = 0 ou u = 0.

Resposta

Assim, comprovamos que:
(i) Existe um único vetor x in V tal que u + x = v para todos u, v in V.
(ii) Para qualquer vetor u in V, 0 cdot u = 0.
(iii) Se k cdot u = 0, então k = 0 ou u = 0.

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