Seja um espaço vetorial sobre um corpo . Mostre que:
(i) Existe único tal que , para todo .
(ii) Para qualquer vetor
(iii) Se , onde e , então ou .

Passo 1

Vamos resumir o que o enunciado pede. Temos um espaço vetorial sobre um corpo e precisamos provar três afirmações:
  1. Existe um único vetor em que, somado a qualquer vetor , resulta em outro vetor .
  2. Multiplicar qualquer vetor por zero do corpo resulta no vetor zero.
  3. Se a multiplicação de um escalar por um vetor dá o vetor zero, então ou é zero ou é o vetor zero.
Para resolver isso, vamos usar as propriedades fundamentais dos espaços vetoriais, como a existência de elementos inversos e as regras de multiplicação por escalar.

Passo 2

Parte (i): Existe um único tal que .
Primeiro, vamos entender que queremos encontrar um vetor que, quando adicionado a , dá . Isso significa que deve ser o vetor que “compensa” para chegar em .

Passo 3

Sabemos que em um espaço vetorial, para qualquer vetor , existe um vetor inverso, que chamamos de , tal que , onde é o vetor nulo.

Passo 4

Então, para encontrar tal que , podemos isolar :
Aqui, é o inverso de .

Passo 5

Agora, precisamos mostrar que esse é único. Suponha que existam dois vetores e tais que e . Então:
Logo, é único.

Passo 6

Parte (ii): Para qualquer vetor , .
Aqui, é o escalar do corpo e também o vetor nulo de . Queremos mostrar que multiplicar qualquer vetor por zero resulta no vetor zero.

Passo 7

Usamos a propriedade da multiplicação por escalar que diz:
Isso faz parte das axiomas de um espaço vetorial, garantindo que multiplicar por zero sempre dá o vetor nulo.

Passo 8

Parte (iii): Se , onde e , então ou .
Queremos provar que se o produto de um escalar por um vetor é o vetor zero, então pelo menos um dos dois fatores deve ser zero.

Passo 9

Suponha que e . Como é um corpo, todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo. Então, podemos multiplicar ambos os lados da equação por :
Isso implica que , o que contraria nossa suposição de . Portanto, nossa hipótese inicial deve estar errada, ou seja, ou .

Resposta

Assim, comprovamos que:
(i) Existe um único vetor tal que para todos .
(ii) Para qualquer vetor , .
(iii) Se , então ou .

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