Seja
um espaço vetorial sobre um corpo
. Mostre que:
(i) Existe único
tal que
, para todo
.
(ii) Para qualquer vetor
(iii) Se
, onde
e
, então
ou
.
(i) Existe único
(ii) Para qualquer vetor
(iii) Se
Passo 1
Vamos resumir o que o enunciado pede. Temos um espaço vetorial
sobre um corpo
e precisamos provar três afirmações:
- Existe um único vetor
em que, somado a qualquer vetor , resulta em outro vetor . - Multiplicar qualquer vetor
por zero do corpo resulta no vetor zero. - Se a multiplicação de um escalar
por um vetor dá o vetor zero, então ou é zero ou é o vetor zero.
Para resolver isso, vamos usar as propriedades fundamentais dos espaços vetoriais, como a existência de elementos inversos e as regras de multiplicação por escalar.
Passo 2
Parte (i): Existe um único
tal que
.
Primeiro, vamos entender que queremos encontrar um vetor
que, quando adicionado a
, dá
. Isso significa que
deve ser o vetor que “compensa”
para chegar em
.
Passo 3
Sabemos que em um espaço vetorial, para qualquer vetor
, existe um vetor inverso, que chamamos de
, tal que
, onde
é o vetor nulo.
Passo 4
Então, para encontrar
tal que
, podemos isolar
:
Aqui,
é o inverso de
.
Passo 5
Agora, precisamos mostrar que esse
é único. Suponha que existam dois vetores
e
tais que
e
. Então:
Logo,
é único.
Passo 6
Parte (ii): Para qualquer vetor
,
.
Aqui,
é o escalar do corpo
e também o vetor nulo de
. Queremos mostrar que multiplicar qualquer vetor por zero resulta no vetor zero.
Passo 7
Usamos a propriedade da multiplicação por escalar que diz:
Isso faz parte das axiomas de um espaço vetorial, garantindo que multiplicar por zero sempre dá o vetor nulo.
Passo 8
Parte (iii): Se
, onde
e
, então
ou
.
Queremos provar que se o produto de um escalar por um vetor é o vetor zero, então pelo menos um dos dois fatores deve ser zero.
Passo 9
Suponha que
e
. Como
é um corpo, todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo. Então, podemos multiplicar ambos os lados da equação
por
:
Isso implica que
, o que contraria nossa suposição de
. Portanto, nossa hipótese inicial deve estar errada, ou seja,
ou
.
Resposta
Assim, comprovamos que:
(i) Existe um único vetor tal que
para todos
.
(ii) Para qualquer vetor ,
.
(iii) Se , então
ou
.
(i) Existe um único vetor
(ii) Para qualquer vetor
(iii) Se
Exercícios relacionados
Seja
o espaço vetorial sobre
das funções de
em
(funções reais). Quais dos seguintes conjuntos de funções abaixo são subespaços de
?
a) todas as funções reais tais que
b) todas as funções reais tais que
c) todas as funções contínuas de em
.
a) todas as funções reais tais que
b) todas as funções reais tais que
c) todas as funções contínuas de
Determine equações paramétricas da reta que passa pelos pontos
e
nos seguintes casos:
Calcule o valor de
para que sejam concorrentes as retas:
Consideremos o seguinte produto interno em
, sendo
e
. Dados os vetores
e
, calcular: