Calcule o valor de m para que sejam concorrentes as seguintes retas:
ll -4 t e r2: & (x=2 y-1 z= x=m x+3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o valor de ll r1: & x = -4t r2: & x = 2 y = -1 z = m x + 3 de forma que duas retas sejam concorrentes, ou seja, que elas se cruzem em um ponto. As retas são dadas por:
Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso. Precisamos encontrar um valor de que faça com que exista um ponto comum às duas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a representação das retas:
  • Reta x = 2, y = -1, z = m x + 3 : Está parametrizada por e apenas a coordenada está definida, sendo . Para termos uma reta completa, precisaríamos das coordenadas e também em função de , mas como não estão fornecidas, vamos assumir que a reta está no espaço tridimensional e os valores de e podem ser quaisquer.
  • Reta : Está definida por equações paramétricas fixas:
    Isso significa que a reta passa pelo ponto .

Passo 3

Para que as retas x = 2, y = -1, z = 2m + 3 e x = -4t sejam concorrentes, deve existir um ponto que pertence a ambas. Vamos encontrar esse ponto.
Da reta -4t = 2 Rightarrow t = -12 , sabemos que para qualquer ponto nela:
Agora, vamos ver na reta se existe algum que faça com que . Da reta :
Queremos que , então:

Passo 4

Agora que temos x = -4 cdot (-12) = 2 , podemos encontrar as coordenadas desse ponto na reta :
Como as coordenadas e não estão definidas na reta , assumimos que o ponto de interseção tem e .

Passo 5

Como o ponto está nas duas retas, as coordenadas devem ser iguais. Portanto, na reta z = 2m + 3 , o ponto tem e que devem coincidir com aqueles da reta .
No entanto, já temos na reta , e na reta não há restrição, então isso está bem. O importante é que o também seja igual, ou seja:
Na reta , como o ponto é comum, o deve ser igual ao da reta .

Passo 6

Como não há restrições adicionais sobre z = 2m + 3 na reta , simplesmente estabelecemos que o do ponto de interseção seja igual em ambas as retas:
Mas como não temos mais informações sobre na reta , vamos considerar que a única condição para as retas serem concorrentes é que os valores de e coincidam, o que já estabelecemos.
Portanto, o valor de não influencia na concorrência das retas, uma vez que o ponto de interseção já está definido pelas coordenadas e .

Resposta

Não existe um valor específico de que torne as retas concorrentes, pois elas já se intersectam independente de .

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