Calcule o valor de para que sejam concorrentes as seguintes retas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o valor de de forma que duas retas sejam concorrentes, ou seja, que elas se cruzem em um ponto. As retas são dadas por:
Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso. Precisamos encontrar um valor de que faça com que exista um ponto comum às duas retas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a representação das retas:
  • Reta : Está parametrizada por e apenas a coordenada está definida, sendo . Para termos uma reta completa, precisaríamos das coordenadas e também em função de , mas como não estão fornecidas, vamos assumir que a reta está no espaço tridimensional e os valores de e podem ser quaisquer.
  • Reta : Está definida por equações paramétricas fixas:
    Isso significa que a reta passa pelo ponto .

Passo 3

Para que as retas e sejam concorrentes, deve existir um ponto que pertence a ambas. Vamos encontrar esse ponto.
Da reta , sabemos que para qualquer ponto nela:
Agora, vamos ver na reta se existe algum que faça com que . Da reta :
Queremos que , então:

Passo 4

Agora que temos , podemos encontrar as coordenadas desse ponto na reta :
Como as coordenadas e não estão definidas na reta , assumimos que o ponto de interseção tem e .

Passo 5

Como o ponto está nas duas retas, as coordenadas devem ser iguais. Portanto, na reta , o ponto tem e que devem coincidir com aqueles da reta .
No entanto, já temos na reta , e na reta não há restrição, então isso está bem. O importante é que o também seja igual, ou seja:
Na reta , como o ponto é comum, o deve ser igual ao da reta .

Passo 6

Como não há restrições adicionais sobre na reta , simplesmente estabelecemos que o do ponto de interseção seja igual em ambas as retas:
Mas como não temos mais informações sobre na reta , vamos considerar que a única condição para as retas serem concorrentes é que os valores de e coincidam, o que já estabelecemos.
Portanto, o valor de não influencia na concorrência das retas, uma vez que o ponto de interseção já está definido pelas coordenadas e .

Resposta

Não existe um valor específico de que torne as retas concorrentes, pois elas já se intersectam independente de .

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Determinar o ^angulo entre as seguintes retas:
Dada a equação geral do plano determine um sistema de equações paramétricas desse plano.
40. Encontre a distância entre os pontos e nos casos abaixo:
a) e
Encontre a distância entre os pontos e : e
41. Encontre a distancia entre o ponto e a reta dada.
a) e .
Verdadeiro ou Falso? No caso de ser verdadeiro provar a afirmativa e no caso de ser falso exibir um contra-exemplo.
(f) ;