Encontre a distância entre os pontos P1 e P2: P1(2,4,5,3) e P2(-1,-2,3,-4)
41. Encontre a distancia entre o ponto e a reta dada.
a) P(2,3,-1) e r: x=3+t, y=-2 t, z=1-2 t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar a distância entre um ponto e uma reta no espaço. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância entre um ponto e uma reta definida por um ponto na reta e um vetor diretor. Pra isso, vamos precisar identificar essas informações na reta dada e aplicar a fórmula correta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um ponto qualquer na reta x = 3 + t, y = -2t, z = 1 - 2t e o vetor diretor dela. A reta Q(3,, 0,, 1) está definida pelas equações paramétricas:
v = (1, -2, -2)
Para encontrar um ponto na reta, podemos escolher . Assim, o ponto na reta é:
O vetor diretor da reta é dado pelos coeficientes de nas equações paramétricas:

Passo 3

Agora, vamos considerar o ponto QP = P - Q = (2 - 3, 3 - 0, -1 - 1) = (-1, 3, -2) e calcular o vetor que vai de até . Esse vetor é:

Passo 4

A fórmula para a distância d = ||QP times v||||v|| entre o ponto e a reta é dada por:
Onde representa o produto vetorial e a norma (magnitude) do vetor.

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial QP times v = i & j & k -1 & 3 & -2 1 & -2 & -2 :
QP times v = i(3 cdot (-2) - (-2) cdot (-2)) - j((-1) cdot (-2) - (-2) cdot 1) + k((-1) cdot (-2) - 3 cdot 1)
Calculando o determinante:
= i(-6 - 4) - j(2 - (-2)) + k(2 - 3)
= -10,i - 4,j - 1,k
QP times v = (-10, -4, -1)
Então, o vetor resultante é:

Passo 6

Agora, vamos calcular a norma desse vetor:
||QP times v|| = raiz(-10)^2 + (-4)^2 + (-1)^2 = raiz100 + 16 + 1 = raiz117
E a norma do vetor diretor ||v|| = raiz1^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = raiz1 + 4 + 4 = raiz9 = 3 :

Passo 7

Finalmente, aplicando a fórmula da distância:
d = raiz1173 = 3raiz133 = raiz13

Resposta

A distância entre o ponto e a reta é unidades.

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