Encontre a distância entre os pontos e : e
41. Encontre a distancia entre o ponto e a reta dada.
a) e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para encontrar a distância entre um ponto e uma reta no espaço. Vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente a fórmula para calcular a distância entre um ponto e uma reta definida por um ponto na reta e um vetor diretor. Pra isso, vamos precisar identificar essas informações na reta dada e aplicar a fórmula correta.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um ponto qualquer na reta e o vetor diretor dela. A reta está definida pelas equações paramétricas:
Para encontrar um ponto na reta, podemos escolher . Assim, o ponto na reta é:
O vetor diretor da reta é dado pelos coeficientes de nas equações paramétricas:

Passo 3

Agora, vamos considerar o ponto e calcular o vetor que vai de até . Esse vetor é:

Passo 4

A fórmula para a distância entre o ponto e a reta é dada por:
Onde representa o produto vetorial e a norma (magnitude) do vetor.

Passo 5

Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Então, o vetor resultante é:

Passo 6

Agora, vamos calcular a norma desse vetor:
E a norma do vetor diretor :

Passo 7

Finalmente, aplicando a fórmula da distância:

Resposta

A distância entre o ponto e a reta é unidades.

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Calcule o valor de para que sejam concorrentes as seguintes retas:
Determinar o ^angulo entre as seguintes retas:
Verdadeiro ou Falso? No caso de ser verdadeiro provar a afirmativa e no caso de ser falso exibir um contra-exemplo.
(f) ;
Verdadeiro ou Falso? No caso de ser verdadeiro provar a afirmativa e no caso de ser falso exibir um contra-exemplo.
(h) Se , então ;