Calcule o valor médio, a autocorrelação e a potência do sinal modulado em amplitude abaixo, em que l(t) e r(t) são estacionários, têm média nula, são descorrelacionados e theta é uma variável aleatória, com distribuição uniforme no intervalo [0,2 pi] :
s(t)=[1+De

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular três coisas sobre um sinal modulado em amplitude: o valor médio, a autocorrelação e a potência. O sinal que estamos analisando é:
s(t) = [1 + De
Aqui, $ l(t) $ e $ r(t) $ são sinais estacionários com média zero e que não estão correlacionados entre si. Além disso, $ \theta $ é uma variável aleatória que tem distribuição uniforme no intervalo l(t) . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de esperança matemática (para o valor médio), autocorrelação de sinais e cálculo de potência de um sinal.

Passo 2

Vamos começar calculando o valor médio de $ s(t) $, que é basicamente o valor esperado de $ s(t) $.
A fórmula para o valor médio é:
s(t)
Sabemos que $ \mathbb{E}[l(t)] = 0 $ e $ \mathbb{E}[r(t)] = 0 $, porque as médias de $ l(t) $ e $ r(t) $ são zero. Além disso, a média de $ \sin(w_c t + \theta) $ quando $ \theta $ está uniformemente distribuído entre $ 0 $ e $ 2\pi $ também é zero. Portanto:
s(t)

Passo 3

Agora, vamos calcular a autocorrelação de $ s(t) $, que é a esperança de $ s(t) $ multiplicado por $ s(t+\tau) $:
s(t)
Substituindo $ s(t) $:
s(t)
Vamos expandir essa expressão:
s(t+tau)
Observando que $ l(t) $ e $ r(t) $ têm média zero e são descorrelacionados, os termos que envolvem esses sinais multiplicados por funções periódicas como o seno vão se cancelar quando tirarmos a expectativa. Portanto, a única parte que sobrevive é a primeira:
Rs(tau) = E[s(t) cdot s(t+tau)]
Podemos usar a identidade trigonométrica:
s(t)
Aplicando isso:
Rs(tau) = E[(1 + De
Simplificando:
Rs(tau) = E[sin(wc t + theta) sin(wc (t+tau) + theta)] + De
Como $ \mathbb{E}[\cos(2w_c t + w_c \tau + 2\theta)] = 0 $ (devido à distribuição uniforme de $ \theta $), ficamos com:
l(t)

Passo 4

Por fim, vamos calcular a potência do sinal $ s(t) $. A potência é dada pela autocorrelação no instante $ \tau = 0 $:
s(t)
Substituindo $ \tau = 0 $ na expressão que encontramos para $ R_s(\tau) $:
tau = 0

Resposta

  • Valor médio de $ s(t) $: $ 0 $
  • Autocorrelação de $ s(t) $: $ R_s(\tau) = \frac{1}{2} \cos(w_c \tau) $
  • Potência do sinal $ s(t) $: $ \frac{1}{2} $

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