Calcule o valor médio, a autocorrelação e a potência do sinal modulado em amplitude abaixo, em que
e
são estacionários, têm média nula, são descorrelacionados e
é uma variável aleatória, com distribuição uniforme no intervalo
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular três coisas sobre um sinal modulado em amplitude: o valor médio, a autocorrelação e a potência. O sinal que estamos analisando é:
Aqui, $ l(t) $ e $ r(t) $ são sinais estacionários com média zero e que não estão correlacionados entre si. Além disso, $ \theta $ é uma variável aleatória que tem distribuição uniforme no intervalo
. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de esperança matemática (para o valor médio), autocorrelação de sinais e cálculo de potência de um sinal.
Passo 2
Vamos começar calculando o valor médio de $ s(t) $, que é basicamente o valor esperado de $ s(t) $.
A fórmula para o valor médio é:
Sabemos que $ \mathbb{E}[l(t)] = 0 $ e $ \mathbb{E}[r(t)] = 0 $, porque as médias de $ l(t) $ e $ r(t) $ são zero. Além disso, a média de $ \sin(w_c t + \theta) $ quando $ \theta $ está uniformemente distribuído entre $ 0 $ e $ 2\pi $ também é zero. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular a autocorrelação de $ s(t) $, que é a esperança de $ s(t) $ multiplicado por $ s(t+\tau) $:
Substituindo $ s(t) $:
Vamos expandir essa expressão:
Observando que $ l(t) $ e $ r(t) $ têm média zero e são descorrelacionados, os termos que envolvem esses sinais multiplicados por funções periódicas como o seno vão se cancelar quando tirarmos a expectativa. Portanto, a única parte que sobrevive é a primeira:
Podemos usar a identidade trigonométrica:
Aplicando isso:
Simplificando:
Como $ \mathbb{E}[\cos(2w_c t + w_c \tau + 2\theta)] = 0 $ (devido à distribuição uniforme de $ \theta $), ficamos com:
Passo 4
Por fim, vamos calcular a potência do sinal $ s(t) $. A potência é dada pela autocorrelação no instante $ \tau = 0 $:
Substituindo $ \tau = 0 $ na expressão que encontramos para $ R_s(\tau) $:
Resposta
- Valor médio de $ s(t) $: $ 0 $
- Autocorrelação de $ s(t) $: $ R_s(\tau) = \frac{1}{2} \cos(w_c \tau) $
- Potência do sinal $ s(t) $: $ \frac{1}{2} $