Determine a densidade espectral de potência e calcule a potência para o esquema de modulação a seguir, em que m(t)=cos (wM t)+sen(wM t).
s(t)=m(t) cos (wc t+phi)+m(t) sen(wc t+phi)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar a densidade espectral de potência e calcular a potência total para um esquema de modulação específico. O que temos aqui envolve conceitos de modulação de sinais e análise de potência em sinais modulados. Para resolver isso, vamos precisar entender como os sinais são modulados, como identificar suas componentes de frequência e como calcular a potência a partir daí.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada no sinal de modulação que temos:
m(t) = cos(wM t) + sin(wM t)
Esse é o nosso sinal de modulação, combinando uma cosseno e um seno com a mesma frequência wM. Agora, o sinal modulado s(t) é dado por:
s(t) = m(t) cos(wc t + phi) + m(t) sin(wc t + phi)
Aqui, wc é a frequência da portadora e phi é uma fase. Além disso, m(t) geralmente representa a transformada de Hilbert de m(t), que cria uma versão em quadratura do sinal de modulação. Mas, para simplificar, vamos assumir que estamos lidando com modulação em quadratura básica.

Passo 3

Vamos expandir s(t) substituindo m(t):
s(t) = [cos(wM t) + sin(wM t)] cos(wc t + phi) + m(t) sin(wc t + phi)
Para simplificar a análise, vamos considerar phi = 0, já que a fase não afeta a densidade espectral de potência de forma significativa. Então, temos:
s(t) = [cos(wM t) + sin(wM t)] cos(wc t) + m(t) sin(wc t)

Passo 4

Agora, vamos lembrar que a densidade espectral de potência (DSP) nos mostra como a potência do sinal está distribuída em diferentes frequências. Para encontrar a DSP, precisamos identificar todas as componentes de frequência presentes em s(t).
Primeiro, vamos multiplicar os termos:
cos(wM t) cos(wc t) = 12 [cos((wc + wM)t) + cos((wc - wM)t)]
sin(wM t) cos(wc t) = 12 [sin((wc + wM)t) + sin((wc - wM)t)]
E para a parte com m(t), assumindo que m(t) é a transformada de Hilbert de m(t), ela estará em quadratura com m(t) e produzirá componentes de frequência similares, mas deslocadas de fase.

Passo 5

Com isso, o sinal modulado s(t) terá componentes de frequência em wc + wM, wc - wM, e possivelmente em wc devido às partes contínuas. A DSP será composta por picos nesses valores de frequência.
Vamos considerar que as componentes de frequência sin((wc + wM)t) e sin((wc - wM)t) têm potência igual a 12 cada, e as cossenos também contribuem com potenciais termos semelhantes.

Passo 6

Para calcular a potência total, vamos somar a potência de cada componente de frequência. Como cada componente senoidal ou cossenoidal tem uma potência média de metade da amplitude ao quadrado, e considerando as combinações que temos:
A potência total P é:
P = 12 ( (12) + (12) ) = 12 times 1 = 12

Resposta

A densidade espectral de potência possui picos nas frequências wc + wM e wc - wM, cada um com potência 12. A potência total do sinal modulado é 12 unidades de potência.

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