Determine a densidade espectral de potência e calcule a potência para o esquema de modulação a seguir, em que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para determinar a densidade espectral de potência e calcular a potência total para um esquema de modulação específico. O que temos aqui envolve conceitos de modulação de sinais e análise de potência em sinais modulados. Para resolver isso, vamos precisar entender como os sinais são modulados, como identificar suas componentes de frequência e como calcular a potência a partir daí.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no sinal de modulação que temos:
Esse é o nosso sinal de modulação, combinando uma cosseno e um seno com a mesma frequência
. Agora, o sinal modulado
é dado por:
Aqui,
é a frequência da portadora e
é uma fase. Além disso,
geralmente representa a transformada de Hilbert de
, que cria uma versão em quadratura do sinal de modulação. Mas, para simplificar, vamos assumir que estamos lidando com modulação em quadratura básica.
Passo 3
Vamos expandir
substituindo
:
Para simplificar a análise, vamos considerar
, já que a fase não afeta a densidade espectral de potência de forma significativa. Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos lembrar que a densidade espectral de potência (DSP) nos mostra como a potência do sinal está distribuída em diferentes frequências. Para encontrar a DSP, precisamos identificar todas as componentes de frequência presentes em
.
Primeiro, vamos multiplicar os termos:
E para a parte com
, assumindo que
é a transformada de Hilbert de
, ela estará em quadratura com
e produzirá componentes de frequência similares, mas deslocadas de fase.
Passo 5
Com isso, o sinal modulado
terá componentes de frequência em
,
, e possivelmente em
devido às partes contínuas. A DSP será composta por picos nesses valores de frequência.
Vamos considerar que as componentes de frequência
e
têm potência igual a
cada, e as cossenos também contribuem com potenciais termos semelhantes.
Passo 6
Para calcular a potência total, vamos somar a potência de cada componente de frequência. Como cada componente senoidal ou cossenoidal tem uma potência média de metade da amplitude ao quadrado, e considerando as combinações que temos:
A potência total
é:
Resposta
A densidade espectral de potência possui picos nas frequências
e
, cada um com potência
. A potência total do sinal modulado é
unidades de potência.