Para o esquema de modulação SSB abaixo, determine a potência da portadora modulada, considerando que o sinal modulante m(t) tem a autocorrelação RM(tau)=e^-tau^2.
s(t)=[1+m(t)] cos (wc t+phi)-m(t) sen(wc t+phi)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de modulação SSB juntos! O que a gente tem aqui é um sinal modulado do tipo SSB, que é uma técnica usada em comunicações para transmitir informações de forma eficiente. A gente precisa descobrir qual é a potência da portadora modulada nesse esquema. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre autocorrelação e como calcular potência de sinais modulados.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão do sinal modulado que a gente tem:
s(t) = [1 + m(t)] cos(wc t + phi) - m(t) sin(wc t + phi)
Aqui, m(t) é o sinal modulante e m(t) é sua transformada de Hilbert, que basicamente está em fase quadratura com m(t). O wc é a frequência da portadora e phi é a fase.

Passo 3

Para encontrar a potência da portadora modulada, precisamos calcular a média do quadrado de s(t). Ou seja, a potência média P é dada por:
P = 1T integral0^T s(t)^2 dt
Onde T é o período de análise. Mas, pra facilitar, vamos usar a propriedade de que a potência média de um sinal é o valor esperado de s(t)^2, então podemos escrever:
P = E[s(t)^2]

Passo 4

Vamos expandir o quadrado de s(t):
s(t)^2 = ([1 + m(t)] cos(wc t + phi) - m(t) sin(wc t + phi))^2
Vamos multiplicar os termos:
s(t)^2 = [1 + m(t)]^2 cos^2(wc t + phi) + m(t)^2 sin^2(wc t + phi) - 2[1 + m(t)]m(t) cos(wc t + phi) sin(wc t + phi)

Passo 5

Agora, vamos calcular a expectativa E[s(t)^2]. Sabendo que m(t) tem autocorrelação RM(tau) = e^-tau^2, e assumindo que m(t) tem média zero, podemos simplificar as expressões:
  1. E[1 + m(t)]^2 = 1 + 2E[m(t)] + E[m(t)^2] = 1 + 0 + sigmam^2 = 1 + sigmam^2
  2. E[m(t)^2] = E[m(t)^2] = sigmam^2
  3. O termo cruzado E[[1 + m(t)]m(t)] = 0, porque m(t) e m(t) são ortogonais.
Assim, a potência média fica:
P = 1 + sigmam^22 + sigmam^22 = 12 + sigmam^2

Passo 6

Precisamos determinar sigmam^2, que é a variância de m(t). Sabemos que a autocorrelação em tau = 0 é igual à variância:
RM(0) = E[m(t)^2] = sigmam^2 = e^0 = 1
Então, sigmam^2 = 1.

Resposta

A potência da portadora modulada é P = 12 + 1 = 32 unidades de potência.

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