Um sinal
, com
, para
, é transmitido através de um canal com ruído aditivo gaussiano e branco, com
.O filtro do demodulador tem a mesma faixa do sinal transmitido. Calcule a relação sinal ruído (SNR) para o sinal recebido. Faça os gráficos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um sinal AM, representado por $ s(t) = a(t) \cos(w_c t + \phi) $, que passa por um canal com ruído gaussiano branco. A gente precisa calcular a relação sinal-ruído (SNR) no sinal recebido. Para isso, vamos usar conceitos de processamento de sinais, como densidade espectral de potência e integração de espectros de frequência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a relação sinal-ruído (SNR). A SNR é uma medida que compara a potência do sinal desejado com a potência do ruído presente. É dada pela fórmula:
Onde $ P_{sinal} $ é a potência do sinal e $ P_{ruído} $ é a potência do ruído.
Passo 3
Vamos calcular a potência do sinal $ P_{sinal} $. A densidade espectral de potência do sinal é dada por:
Para encontrar a potência total do sinal, integramos essa densidade espectral sobre a faixa de frequências:
Passo 4
Resolvendo a integral:
Devido à simetria, podemos calcular de 0 a $ w_M $ e multiplicar por 2:
Integrando:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a potência do ruído $ P_{ruído} $. A densidade espectral de potência do ruído é constante e igual a $ S_N(w) = S_0
-w_M $ a $ w_M $), a potência do ruído é:
Passo 6
Agora que temos $ P_{sinal} $ e $ P_{ruído} $, podemos calcular a SNR:
Resposta
A relação sinal-ruído (SNR) para o sinal recebido é: