Um sinal s(t)De, com SA(w)=SA[1-|w|wM], para -wM <= w <= wM, é transmitido através de um canal com ruído aditivo gaussiano e branco, com SN(w)=S0.O filtro do demodulador tem a mesma faixa do sinal transmitido. Calcule a relação sinal ruído (SNR) para o sinal recebido. Faça os gráficos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um sinal AM, representado por $ s(t) = a(t) \cos(w_c t + \phi) $, que passa por um canal com ruído gaussiano branco. A gente precisa calcular a relação sinal-ruído (SNR) no sinal recebido. Para isso, vamos usar conceitos de processamento de sinais, como densidade espectral de potência e integração de espectros de frequência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a relação sinal-ruído (SNR). A SNR é uma medida que compara a potência do sinal desejado com a potência do ruído presente. É dada pela fórmula:
SNR = PsinalPruído í
Onde $ P_{sinal} $ é a potência do sinal e $ P_{ruído} $ é a potência do ruído.

Passo 3

Vamos calcular a potência do sinal $ P_{sinal} $. A densidade espectral de potência do sinal é dada por:
Psinal
Para encontrar a potência total do sinal, integramos essa densidade espectral sobre a faixa de frequências:
SA(w) = SA (1 - |w|wM), para -wM <= w <= wM

Passo 4

Resolvendo a integral:
Psinal = SA integral-wM^wM (1 - |w|wM) dw
Devido à simetria, podemos calcular de 0 a $ w_M $ e multiplicar por 2:
wM
Integrando:
Psinal = 2 SA integral0^wM (1 - wwM) dw
Então:
integral0^wM (1 - wwM) dw = [w - w^22 wM]0^wM = wM - wM^22 wM = wM2

Passo 5

Agora, vamos calcular a potência do ruído $ P_{ruído} $. A densidade espectral de potência do ruído é constante e igual a $ S_N(w) = S_0 Pruído -w_M $ a $ w_M $), a potência do ruído é:
SN(w) = S0 í

Passo 6

Agora que temos $ P_{sinal} $ e $ P_{ruído} $, podemos calcular a SNR:
Psinal í

Resposta

A relação sinal-ruído (SNR) para o sinal recebido é:
SNR = SA2 S0

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