Para o esquema de modulação SSB abaixo, determine a potência da portadora modulada, considerando que o sinal modulante
tem a autocorrelação
. Esboce o espectro da portadora modulada.
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a potência da portadora modulada em um esquema de modulação SSB (Single Side Band). Além disso, precisamos esquematizar como fica o espectro dessa portadora modulada. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre modulação SSB, potência em sinais modulados e autocorrelação de sinais. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é modulação SSB. Na modulação SSB, a portadora é modulada de forma que apenas um dos lados do espectro (superior ou inferior) é transmitido, economizando largura de banda. A expressão dada para o sinal modulado é:
Aqui, $ m(t) $ é o sinal modulante, $ \hat{m}(t) $ é sua transformada de Hilbert, $ w_c $ é a frequência da portadora e $ \phi $ é a fase.
Passo 3
Para encontrar a potência da portadora modulada, precisamos calcular a potência média do sinal $ s(t) $. A potência média de um sinal $ s(t) $ é dada por:
Mas antes, vamos simplificar $ s(t) $. Sabemos que $ \hat{m}(t) $ é a transformada de Hilbert de $ m(t) $, que introduz um deslocamento de fase de 90 graus. Portanto, a combinação $ m(t) \cos(w_c t + \phi) + \hat{m}(t) \sin(w_c t + \phi) $ representa a modulação SSB.
Passo 4
Agora, vamos calcular $ |s(t)|^2 $:
Expandindo o quadrado:
Passo 5
Vamos calcular a potência média integrando cada termo. Sabemos que $ \cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} $ e $ \sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} $. Além disso, o termo cruzado $ \cos \theta \sin \theta $ tem média zero ao longo do tempo. Então, ao calcular a média, esses termos com $ \cos(2w_c t + 2\phi) $ e $ \sin(2w_c t + 2\phi) $ se anulam.
Assim, a potência média fica:
Onde $ \langle \cdot \rangle $ representa a média no tempo.
Passo 6
Sabemos que, para a transformada de Hilbert, a potência de $ m(t) $ e $ \hat{m}(t) $ são iguais. Ou seja, $ \langle m(t)^2 \rangle = \langle \hat{m}(t)^2 \rangle $. Portanto:
Então, a potência da portadora modulada é igual à potência do sinal modulante.
Passo 7
Agora, para encontrar $ \langle m(t)^2 \rangle $, usamos a autocorrelação $ R_M(\tau) = \cos(w_M \tau) $. A potência média pode ser obtida avaliando $ R_M(0) $:
Portanto, a potência da portadora modulada é 1 unidade de potência.
Resposta
A potência da portadora modulada é igual a 1 unidade de potência.