Uma partícula de massa m pode mover-se livremente (V(x)=0) sobre o eixo x, isto é, -infty. Determine a energia total da partícula e sabendo que sua função de onda é
varphi(x)=raizm alphahbar exp (-m alpha|x|hbar^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula com massa $ m $ que pode se mover livremente ao longo do eixo $ x m ç V(x) = 0 $). Nosso objetivo é descobrir a energia total dessa partícula, representada por $ \langle E \rangle $, usando a função de onda que foi dada:
x
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica quântica, como operadores de energia e expectativa de valores. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia total da partícula em mecânica quântica é dada pelo valor esperado do operador Hamiltoniano $ \hat{H} H íá V(x) = 0 $), o Hamiltoniano é apenas o operador de energia cinética:
V(x) = 0
Aqui, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida e $ \frac{d{2}}{dx{2}} $ representa a segunda derivada em relação a $ x $.

Passo 3

Agora, precisamos calcular o valor esperado da energia, que é:
lang<= E rang<= = lang<= varphi | H | varphi rang<= = integral-infty^infty varphi^*(x) H varphi(x) , dx
Como a função de onda $ \varphi(x) $ é real, $ \varphi^{*}(x) = \varphi(x) $. Então, a expressão fica:
varphi(x)

Passo 4

Vamos agora calcular a segunda derivada da função de onda $ \varphi(x) $. Primeiro, a função é:
varphi(x)
A primeira derivada em relação a $ x $ é:
varphi(x) = raizm alphahbar exp(-m alpha |x|hbar^2)
Onde $ sgn(x) $ é a função sinal, que é $ 1 $ para $ x > 0 $ e $ -1 $ para $ x < 0 $.
A segunda derivada é:
x
Aqui, $ \delta(x) $ é a função delta de Dirac, que surge devido à derivada da função sinal.

Passo 5

Substituindo a segunda derivada de $ \varphi(x) $ na expressão da energia:
varphi(x)
Vamos inserir a expressão da segunda derivada:
lang<= E rang<= = -hbar^22m integral-infty^infty varphi(x) d^2varphidx^2 , dx

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, observamos que $ \exp\left(-\frac{m \alpha |x|}{\hbar^{2}}\right) $ é importante em ambas as partes da integral. Além disso, a integral envolvendo a função delta $ \delta(x) $ vai simplificar porque $ \delta(x) $ “pega” o valor da função em $ x = 0 $.
Dividindo a integral em duas partes:
exp(-m alpha |x|hbar^2)

Passo 7

Calculando cada parte separadamente:
  1. Primeira integral:
integral-infty^infty exp(-2 m alpha |x|hbar^2) dx = 2 integral0^infty exp(-2 m alpha xhbar^2) dx = 2 cdot hbar^22 m alpha = hbar^2m alpha
  1. Segunda parte:
2 m alphahbar^2 raizm alphahbar = 2 m alpha raizm alphahbar^3 = 2 m^3/2 alpha^3/2hbar^3

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da energia:
lang<= E rang<= = -hbar^22m [ m^2 alpha^2hbar^4 cdot hbar^2m alpha - 2 m^3/2 alpha^3/2hbar^3 ]
Simplificando cada termo:
  1. Primeiro termo:
m^2 alpha^2hbar^4 cdot hbar^2m alpha = m alphahbar^2
  1. Segundo termo:
2 m^3/2 alpha^3/2hbar^3

Passo 9

Agora, juntando tudo:
lang<= E rang<= = -hbar^22m ( m alphahbar^2 - 2 m^3/2 alpha^3/2hbar^3 ) = -hbar^22m cdot m alphahbar^2 + hbar^22m cdot 2 m^3/2 alpha^3/2hbar^3
Simplificando cada termo:
- m alpha2m = -alpha2
hbar^22m cdot 2 m^3/2 alpha^3/2hbar^3 = m^1/2 alpha^3/2hbar

Passo 10

Finalmente, somando os dois resultados:
lang<= E rang<= = -alpha2 + m^1/2 alpha^3/2hbar

Resposta

A energia total da partícula é:
lang<= E rang<= = -alpha2 + raizm alpha^3/2hbar

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