Uma partícula de massa
pode mover-se livremente
sobre o eixo
, isto é,
. Determine a energia total da partícula
sabendo que sua função de onda é
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma partícula com massa $ m $ que pode se mover livremente ao longo do eixo $ x
V(x) = 0 $). Nosso objetivo é descobrir a energia total dessa partícula, representada por $ \langle E \rangle $, usando a função de onda que foi dada:
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de mecânica quântica, como operadores de energia e expectativa de valores. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a energia total da partícula em mecânica quântica é dada pelo valor esperado do operador Hamiltoniano $ \hat{H}
V(x) = 0 $), o Hamiltoniano é apenas o operador de energia cinética:
Aqui, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida e $ \frac{d{2}}{dx{2}} $ representa a segunda derivada em relação a $ x $.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o valor esperado da energia, que é:
Como a função de onda $ \varphi(x) $ é real, $ \varphi^{*}(x) = \varphi(x) $. Então, a expressão fica:
Passo 4
Vamos agora calcular a segunda derivada da função de onda $ \varphi(x) $. Primeiro, a função é:
A primeira derivada em relação a $ x $ é:
Onde $ sgn(x) $ é a função sinal, que é $ 1 $ para $ x > 0 $ e $ -1 $ para $ x < 0 $.
A segunda derivada é:
Aqui, $ \delta(x) $ é a função delta de Dirac, que surge devido à derivada da função sinal.
Passo 5
Substituindo a segunda derivada de $ \varphi(x) $ na expressão da energia:
Vamos inserir a expressão da segunda derivada:
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, observamos que $ \exp\left(-\frac{m \alpha |x|}{\hbar^{2}}\right) $ é importante em ambas as partes da integral. Além disso, a integral envolvendo a função delta $ \delta(x) $ vai simplificar porque $ \delta(x) $ “pega” o valor da função em $ x = 0 $.
Dividindo a integral em duas partes:
Passo 7
Calculando cada parte separadamente:
- Primeira integral:
- Segunda parte:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da energia:
Simplificando cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
Passo 9
Agora, juntando tudo:
Simplificando cada termo:
Passo 10
Finalmente, somando os dois resultados:
Resposta
A energia total da partícula é: