Normalize a função de onda da partícula confinada na caixa unidimensional -a / 2 <= x <= a / 2
Psi(x, t)=A[cos (pi xa) e^-i E1 t / hbar+sen(2 pi xa) e^-i E2 t / hbar] En=n^2 pi^2 hbar^22 m a^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para normalizar a função de onda de uma partícula confinada em uma caixa unidimensional que vai de -a/2 até a/2. Isso está relacionado ao conteúdo de mecânica quântica, especificamente sobre partículas em potenciais confinados. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de normalização de funções de onda, que garantem que a probabilidade total de encontrar a partícula na caixa seja igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa normalizar uma função de onda. Uma função de onda Psi(x, t) está normalizada quando a integral do seu módulo ao quadrado sobre todo o espaço é igual a 1:
integral-a/2^a/2 |Psi(x, t)|^2 dx = 1
Isso garante que a partícula está definitivamente dentro da caixa.

Passo 3

Agora, vamos calcular o módulo ao quadrado da função de onda dada:
|Psi(x, t)|^2 = A^2 [ cos(pi xa) e^-i E1 t / hbar + sin(2pi xa) e^-i E2 t / hbar ] times [ cos(pi xa) e^i E1 t / hbar + sin(2pi xa) e^i E2 t / hbar ]
Simplificando, temos:
|Psi(x, t)|^2 = A^2 [ cos^2(pi xa) + sin^2(2pi xa) + 2 cos(pi xa) sin(2pi xa) cos((E2 - E1)thbar) ]

Passo 4

Para normalizar, precisamos integrar |Psi(x, t)|^2 de -a/2 a a/2:
A^2 integral-a/2^a/2 [ cos^2(pi xa) + sin^2(2pi xa) ] dx + A^2 integral-a/2^a/2 2 cos(pi xa) sin(2pi xa) cos((E2 - E1)thbar) dx = 1
Observando que os termos de interferência (com o cosseno de diferença de energias) se anulam ao longo do tempo, ficamos com:
A^2 [ integral-a/2^a/2 cos^2(pi xa) dx + integral-a/2^a/2 sin^2(2pi xa) dx ] = 1

Passo 5

Vamos resolver cada integral separadamente. Sabemos que:
integral cos^2(kx) dx = x2 + sin(2kx)4k + C
e
integral sin^2(kx) dx = x2 - sin(2kx)4k + C
Aplicando isso às nossas integrais:
Para cos^2(pi xa):
integral-a/2^a/2 cos^2(pi xa) dx = [ x2 + a2pi sin(2pi xa) ]-a/2^a/2 = a2
Para sin^2(2pi xa):
integral-a/2^a/2 sin^2(2pi xa) dx = [ x2 - a4pi sin(4pi xa) ]-a/2^a/2 = a2

Passo 6

Somando as integrais:
A^2 ( a2 + a2 ) = A^2 a = 1

Passo 7

Agora, resolvemos para A:
A^2 a = 1 Rightarrow A^2 = 1a Rightarrow A = 1raiza

Resposta

A constante de normalização é A = dfrac1raiza.

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