Considere a função . Em relação a essa função determine:
Os pontos de máximo e mínimo locais (se houver).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo locais da função . Esse tipo de problema está na área de Cálculo, especificamente usando derivadas para analisar o comportamento da função. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função, igualá-la a zero e verificar onde a função atinge seus pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . Para isso, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função , sua derivada é .
Aqui, e .
Calculando as derivadas:


Então, a derivada de é:

Passo 3

Agora que temos a derivada , vamos encontrar os pontos críticos, onde .
Isso acontece quando o numerador é zero:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 4

Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, vamos usar o teste da derivada segunda. Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada de .
A primeira derivada é . Então, a segunda derivada será:

Passo 5

Agora, avaliamos a segunda derivada no ponto crítico :
Como é positivo, . Isso significa que a função é côncava para cima no ponto , indicando um ponto de mínimo local.

Resposta

A função possui um ponto de mínimo local em .

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