Considere a função
. Em relação a essa função determine:
Os pontos de máximo e mínimo locais (se houver).
Os pontos de máximo e mínimo locais (se houver).
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo locais da função
. Esse tipo de problema está na área de Cálculo, especificamente usando derivadas para analisar o comportamento da função. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função, igualá-la a zero e verificar onde a função atinge seus pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. Para isso, vamos usar a regra do quociente, que diz que se temos uma função
, sua derivada é
.
Aqui,
e
.
Calculando as derivadas:
Então, a derivada de é:
Calculando as derivadas:
Então, a derivada de
Passo 3
Agora que temos a derivada
, vamos encontrar os pontos críticos, onde
.
Isso acontece quando o numerador é zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 4
Para determinar se esse ponto crítico é um máximo ou mínimo, vamos usar o teste da derivada segunda. Primeiro, vamos encontrar a segunda derivada de
.
A primeira derivada é
. Então, a segunda derivada
será:
Passo 5
Agora, avaliamos a segunda derivada no ponto crítico
:
Como
é positivo,
. Isso significa que a função é côncava para cima no ponto
, indicando um ponto de mínimo local.
Resposta
A função
possui um ponto de mínimo local em
.
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.
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