Calcule o valor médio de f(x) = x sec^2 no intervalo [0, pi / 4].

Passo 1

Beleza, então a gente tem que calcular o valor médio da função no intervalo de a . Isso tá relacionado à matéria de Cálculo, mais especificamente ao cálculo de integrais para encontrar o valor médio de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o valor médio de uma função. O valor médio de no intervalo é dado por:
é
Então, precisamos calcular essa integral e depois dividir pelo comprimento do intervalo.

Passo 3

No nosso caso, a função é e o intervalo é . Vamos substituir esses valores na fórmula do valor médio:
é
Simplificando o denominador:
Então:
é

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral . Para isso, vamos usar o método de integração por partes, que é útil quando temos um produto de duas funções. A fórmula da integração por partes é:
Vamos escolher:
Pois sabemos que a integral de é .

Passo 5

Aplicando a integração por partes:
Agora, precisamos resolver . Sabemos que:
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Vamos agora avaliar a integral definida de a :
Calculando em :
Sabemos que e , então:
Agora, calculando em :
Então, a integral definida é:

Passo 7

Agora, vamos calcular o valor médio usando a fórmula que vimos no Passo 2:
é

Resposta

O valor médio de no intervalo é:

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