Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(d) ,
R.: ,

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com a condição inicial usando a Transformada de Laplace. A matéria aqui é Transformada de Laplace aplicada a equações diferenciais. Vamos precisar das propriedades da Transformada de Laplace, especialmente para derivadas e funções por partes (função degrau).

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que , onde é a Transformada de Laplace de . Como , fica:

Passo 3

Agora, fatoramos da esquerda:
Então, isolamos :

Passo 4

Precisamos encontrar . A função é definida por partes:
Isso é uma função degrau que liga no . Usamos a propriedade da Transformada de Laplace para funções por partes:

Passo 5

Agora, substituímos na expressão para :

Passo 6

Para achar , precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace. Vamos decompor em frações parciais:

Passo 7

Agora, aplicamos a Transformada Inversa:
Onde é a função degrau que ativa a partir de .

Resposta

Exercícios relacionados

(a) Use a fórmula de redução no Exemplo 6 para mostrar que
(b) Use a parte (a) e a fórmula de redução para calcular .
Primeiro faça uma substituição e então use integração por partes para calcular a integral:
Escreva as funções em termos das funções degrau e calcule suas transformadas de Laplace
©
R.: e
Calcule o valor médio de no intervalo .