Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(d) ,
R.: ,
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial com a condição inicial usando a Transformada de Laplace. A matéria aqui é Transformada de Laplace aplicada a equações diferenciais. Vamos precisar das propriedades da Transformada de Laplace, especialmente para derivadas e funções por partes (função degrau).
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que , onde é a Transformada de Laplace de . Como , fica:
Passo 3
Agora, fatoramos da esquerda:
Então, isolamos :
Passo 4
Precisamos encontrar . A função é definida por partes:
Isso é uma função degrau que liga no . Usamos a propriedade da Transformada de Laplace para funções por partes:
Passo 5
Agora, substituímos na expressão para :
Passo 6
Para achar , precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace. Vamos decompor em frações parciais: