Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(d)
,
R.:
,
(d)
R.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com a condição inicial
usando a Transformada de Laplace. A matéria aqui é Transformada de Laplace aplicada a equações diferenciais. Vamos precisar das propriedades da Transformada de Laplace, especialmente para derivadas e funções por partes (função degrau).
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que
, onde
é a Transformada de Laplace de
. Como
, fica:
Passo 3
Agora, fatoramos
da esquerda:
Então, isolamos
:
Passo 4
Precisamos encontrar
. A função
é definida por partes:
Isso é uma função degrau que liga no
. Usamos a propriedade da Transformada de Laplace para funções por partes:
Passo 5
Agora, substituímos
na expressão para
:
Passo 6
Para achar
, precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace. Vamos decompor em frações parciais:
Passo 7
Agora, aplicamos a Transformada Inversa:
Onde
é a função degrau que ativa a partir de
.