Use a Transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
(d) y' + y = f(t), y(0) = 0,
R.: y(t) = U(t - pi) h(t - pi) - U(t - 3 pi) h(t - 3 pi),
f(t) = { 0, se 0 <= t < 1; 5, se t >= 1 } h(t) = 1/2 s - s / (2 * (s^2 + 4))

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial com a condição inicial usando a Transformada de Laplace. A matéria aqui é Transformada de Laplace aplicada a equações diferenciais. Vamos precisar das propriedades da Transformada de Laplace, especialmente para derivadas e funções por partes (função degrau).

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação diferencial. Lembrando que , onde é a Transformada de Laplace de . Como , fica:

Passo 3

Agora, fatoramos da esquerda:
Então, isolamos :

Passo 4

Precisamos encontrar . A função é definida por partes:
Isso é uma função degrau que liga no . Usamos a propriedade da Transformada de Laplace para funções por partes:

Passo 5

Agora, substituímos na expressão para :

Passo 6

Para achar , precisamos fazer a Transformada Inversa de Laplace. Vamos decompor em frações parciais:

Passo 7

Agora, aplicamos a Transformada Inversa:
Onde é a função degrau que ativa a partir de .

Resposta

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