Use transformada de Laplace para resolver os sistemas:
(a) y'' + 10y - 4z = 0, z'' + 4z - 4y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1, z(0) = 0
R.: y(t) = -raiz(2)/10 * sen(raiz(2) t) + raiz(3)/5 * sen(2 raiz(3) t) e z(t) = -(raiz(2)/5) * sen(raiz(2) t) - (raiz(3)/10) * sen(2 * raiz(3) t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a transformada de Laplace. O sistema que a gente tem é:
Aqui, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais e resolver sistemas de equações lineares. A transformada de Laplace vai transformar essas equações no domínio do tempo para o domínio de , facilitando a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambas as equações do sistema. Lembrando que a transformada de é e similar para . Com as condições iniciais dadas ( , , ), aplicamos a transformada:
Para a primeira equação:
Isso se torna:
Simplificando:
Para a segunda equação:
Isso se torna:
Simplificando:

Passo 3

Agora, temos um sistema de equações algébricas em termos de e :
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 4

Podemos usar o método de substituição ou o método de eliminaçao para resolver o sistema. Aqui, vamos multiplicar a segunda equação por para isolar em termos de :
Da segunda equação:

Passo 5

Agora, substituímos na primeira equação:
Simplificando:
Para resolver isso, vamos encontrar um denominador comum:
Expandindo :
Então:
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos fatorar o denominador . Podemos tratar como , então:
Encontrando e que satisfaçam e , temos e . Portanto:
Então, fica:
Podemos decompor a fração em frações parciais:
Resolvendo para , , , e , encontramos que pode ser expresso como:

Resposta

Finalmente, aplicando a transformada inversa de Laplace, obtemos as soluções no domínio do tempo:

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