Use transformada de Laplace para resolver os sistemas:
(a)
R.:
e
(a)
R.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a transformada de Laplace. O sistema que a gente tem é:
Aqui, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais e resolver sistemas de equações lineares. A transformada de Laplace vai transformar essas equações no domínio do tempo para o domínio de
, facilitando a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambas as equações do sistema. Lembrando que a transformada de
é
e similar para
. Com as condições iniciais dadas (
,
,
), aplicamos a transformada:
Para a primeira equação:
Isso se torna:
Simplificando:
Para a segunda equação:
Isso se torna:
Simplificando:
Passo 3
Agora, temos um sistema de equações algébricas em termos de
e
:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 4
Podemos usar o método de substituição ou o método de eliminaçao para resolver o sistema. Aqui, vamos multiplicar a segunda equação por
para isolar
em termos de
:
Da segunda equação:
Passo 5
Agora, substituímos
na primeira equação:
Simplificando:
Para resolver isso, vamos encontrar um denominador comum:
Expandindo
:
Então:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos fatorar o denominador
. Podemos tratar
como
, então:
Encontrando
e
que satisfaçam
e
, temos
e
. Portanto:
Então,
fica:
Podemos decompor a fração em frações parciais:
Resolvendo para
,
,
, e
, encontramos que
pode ser expresso como:
Resposta
Finalmente, aplicando a transformada inversa de Laplace, obtemos as soluções no domínio do tempo: