Use transformada de Laplace para resolver os sistemas:
(a) y'' + 10y - 4z = 0, z'' + 4z - 4y = 0, y(0) = 0, y'(0) = 1, z(0) = 0
R.: y(t) = -raiz(2)/10 * sen(raiz(2) t) + raiz(3)/5 * sen(2 raiz(3) t) e z(t) = -(raiz(2)/5) * sen(raiz(2) t) - (raiz(3)/10) * sen(2 * raiz(3) t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a transformada de Laplace. O sistema que a gente tem é:
Aqui, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais e resolver sistemas de equações lineares. A transformada de Laplace vai transformar essas equações no domínio do tempo para o domínio de , facilitando a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambas as equações do sistema. Lembrando que a transformada de é e similar para . Com as condições iniciais dadas ( , , ), aplicamos a transformada:
Para a primeira equação:
Isso se torna:
Simplificando:
Para a segunda equação:
Isso se torna:
Simplificando:

Passo 3

Agora, temos um sistema de equações algébricas em termos de e :
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 4

Podemos usar o método de substituição ou o método de eliminaçao para resolver o sistema. Aqui, vamos multiplicar a segunda equação por para isolar em termos de :
Da segunda equação:

Passo 5

Agora, substituímos na primeira equação:
Simplificando:
Para resolver isso, vamos encontrar um denominador comum:
Expandindo :
Então:
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos fatorar o denominador . Podemos tratar como , então:
Encontrando e que satisfaçam e , temos e . Portanto:
Então, fica:
Podemos decompor a fração em frações parciais:
Resolvendo para , , , e , encontramos que pode ser expresso como:

Resposta

Finalmente, aplicando a transformada inversa de Laplace, obtemos as soluções no domínio do tempo:

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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -1.254ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“26.971ex” height=“3.211ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -864.9 11921.2 1419.1”><title>L(f(t)) = F(s) = 1 / (s * (s^2 - 4 * s + 5))</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“4C” d=“M62 -22T47 -22T32 -11Q32 -1 56 24T83 55Q113 96 138 172T180 320T234 473T323 609Q364 649 419 677T531 705Q559 705 578 696T604 671T615 645T618 623V611Q618 582 615 571T598 548Q581 531 558 520T518 509Q503 509 503 520Q503 523 505 536T507 560Q507 590 494 610T452 630Q423 630 410 617Q367 578 333 492T271 301T233 170Q211 123 204 112L198 103L224 102Q281 102 369 79T509 52H523Q535 64 544 87T579 128Q616 152 641 152Q656 152 656 142Q656 101 588 40T433 -22Q381 -22 289 1T156 28L141 29L131 20Q111 0 87 -11Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(690,0)”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 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251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(2768,0)”><path data-c=“29” d=“M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(3434.8,0)”><path data-c=“3D” d=“M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(4490.6,0)”><path data-c=“1D439” d=“M48 1Q31 1 31 11Q31 13 34 25Q38 41 42 43T65 46Q92 46 125 49Q139 52 144 61Q146 66 215 342T285 622Q285 629 281 629Q273 632 228 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transform=“translate(5628.6,0)”><path data-c=“1D460” d=“M131 289Q131 321 147 354T203 415T300 442Q362 442 390 415T419 355Q419 323 402 308T364 292Q351 292 340 300T328 326Q328 342 337 354T354 372T367 378Q368 378 368 379Q368 382 361 388T336 399T297 405Q249 405 227 379T204 326Q204 301 223 291T278 274T330 259Q396 230 396 163Q396 135 385 107T352 51T289 7T195 -10Q118 -10 86 19T53 87Q53 126 74 143T118 160Q133 160 146 151T160 120Q160 94 142 76T111 58Q109 57 108 57T107 55Q108 52 115 47T146 34T201 27Q237 27 263 38T301 66T318 97T323 122Q323 150 302 164T254 181T195 196T148 231Q131 256 131 289Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(6097.6,0)”><path data-c=“29” d=“M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(6764.3,0)”><path 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(b) Frações Parciais</div>
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<html><head></head><body><div>Determine as ordens de cada pólo e zero das das funções. <span class=“math-inline “>
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