Escreva as funções em termos das funções degrau e calcule suas transformadas de Laplace
© f(t) = { 0, se 0 <= t < a; 1, se a <= t < b; 0, se t >= b }
R.: f(t) = U(t-a) - U(t-b) e L(f(t)) = e^(-as)/s - e^(-bs)/s

Passo 1

Beleza, vamos lá! Esse exercício pede pra gente escrever a função usando funções degrau (também conhecidas como funções de Heaviside) e depois calcular a transformada de Laplace dessa função. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como usar funções degrau e como aplicar a transformada de Laplace em funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que temos:
Isso significa que é zero até o tempo , depois vira 1 até o tempo , e depois volta a ser zero.

Passo 3

As funções degrau, ou funções de Heaviside, são usadas para “ligar” ou “desligar” partes de uma função em certos pontos. A função degrau é zero para e igual a 1 para .

Passo 4

Vamos expressar usando essas funções degrau. Queremos que a função seja 1 entre e e zero fora desse intervalo. Podemos fazer isso subtraindo duas funções degrau:
Isso faz com que a função “liga” em e “desliga” em .

Passo 5

Agora, vamos calcular a transformada de Laplace dessa função. A transformada de Laplace de uma função degrau é conhecida e dada por:

Passo 6

Aplicando a linearidade da transformada de Laplace, temos que:
Substituindo pela expressão da transformada de cada função degrau:

Resposta

A função escrita em termos das funções degrau é:
E sua transformada de Laplace é:

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