Considere L(f(t)) = F(s) = 1 / (s * (s^2 - 4 * s + 5)). Determine f(t) usando:
(b) Frações Parciais

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a função cuja Transformada de Laplace é . Para isso, vamos usar frações parciais, que é uma técnica para quebrar expressões racionais em partes mais simples, facilitando a inversão da Transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos decompôr em frações parciais. A ideia é escrever como a soma de termos mais simples. Suponhamos que:
Aqui, , e são constantes que vamos determinar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 4

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Resolvendo:
  1. De , temos .
  2. De , substituindo , .
  3. De , substituindo , .

Passo 5

Substituímos os valores de , e na expressão das frações parciais:
Simplificando:

Passo 6

Vamos simplificar o denominador quadrático completando o quadrado:
Então, nossa expressão fica:

Passo 7

Agora, separamos a fração da parte quadrática:
Então:

Passo 8

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo:

Passo 9

Juntando tudo, temos:

Resposta

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