Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a função cuja Transformada de Laplace é . Para isso, vamos usar frações parciais, que é uma técnica para quebrar expressões racionais em partes mais simples, facilitando a inversão da Transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos decompôr em frações parciais. A ideia é escrever como a soma de termos mais simples. Suponhamos que:
Aqui, , e são constantes que vamos determinar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Resolvendo:
De , temos .
De , substituindo , .
De , substituindo , .
Passo 5
Substituímos os valores de , e na expressão das frações parciais:
Simplificando:
Passo 6
Vamos simplificar o denominador quadrático completando o quadrado:
Então, nossa expressão fica:
Passo 7
Agora, separamos a fração da parte quadrática:
Então:
Passo 8
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo: