Considere
. Determine
usando:
(b) Frações Parciais
(b) Frações Parciais
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar a função
cuja Transformada de Laplace é
. Para isso, vamos usar frações parciais, que é uma técnica para quebrar expressões racionais em partes mais simples, facilitando a inversão da Transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos decompôr
em frações parciais. A ideia é escrever
como a soma de termos mais simples. Suponhamos que:
Aqui,
,
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Expandindo os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 4
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes dos dois lados da equação:
Resolvendo:
- De
, temos . - De
, substituindo , . - De
, substituindo , .
Passo 5
Substituímos os valores de
,
e
na expressão das frações parciais:
Simplificando:
Passo 6
Vamos simplificar o denominador quadrático completando o quadrado:
Então, nossa expressão fica:
Passo 7
Agora, separamos a fração da parte quadrática:
Então:
Passo 8
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa em cada termo:
Passo 9
Juntando tudo, temos:
Resposta
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<html><head></head><body><div>Calcule o valor médio de <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“12.875ex” height=“2.452ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -833.9 5690.8 1083.9”><title>f(x) = x sec^2</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 -78T118 -61Q162 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447H198Q238 447 268 432L283 424L292 431Q302 440 314 448H322H326Q329 448 335 442V310L329 304H301Q295 310 295 316Z”></path><path data-c=“65” d=“M28 218Q28 273 48 318T98 391T163 433T229 448Q282 448 320 430T378 380T406 316T415 245Q415 238 408 231H126V216Q126 68 226 36Q246 30 270 30Q312 30 342 62Q359 79 369 104L379 128Q382 131 395 131H398Q415 131 415 121Q415 117 412 108Q393 53 349 21T250 -11Q155 -11 92 58T28 218ZM333 275Q322 403 238 411H236Q228 411 220 410T195 402T166 381T143 340T127 274V267H333V275Z” transform=“translate(394,0)”></path><path data-c=“63” d=“M370 305T349 305T313 320T297 358Q297 381 312 396Q317 401 317 402T307 404Q281 408 258 408Q209 408 178 376Q131 329 131 219Q131 137 162 90Q203 29 272 29Q313 29 338 55T374 117Q376 125 379 127T395 129H409Q415 123 415 120Q415 116 411 104T395 71T366 33T318 2T249 -11Q163 -11 99 53T34 214Q34 318 99 383T250 448T370 421T404 357Q404 334 387 320Z” transform=“translate(838,0)”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(1315,363) 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<html><head></head><body><div>Escreva as funções em termos das funções degrau e calcule suas transformadas de Laplace<br>
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<html><head></head><body><div>Use transformada de Laplace para resolver os sistemas:<br>
(a) <span class=“math-inline “>
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