O ponto é um vértice de um quadrado que tem um dos seus lados não adjacentes a sobre a reta . Qual é a área do quadrado?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um ponto que é um vértice de um quadrado. Além disso, um dos lados que não estão conectados diretamente a está sobre a reta . Vamos usar Geometria Analítica para encontrar a área desse quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta onde está um dos lados do quadrado. A equação da reta é . Vamos reescrever essa equação na forma padrão para identificar sua inclinação.

Passo 3

Rearranjando a equação: . Então, a inclinação da reta é .

Passo 4

Sabemos que, em um quadrado, os lados são perpendiculares entre si. Portanto, a inclinação da reta que conecta o ponto a um dos vértices adjacentes do quadrado será o negativo do inverso da inclinação da reta dada. Ou seja, .

Passo 5

Agora, precisamos encontrar as coordenadas dos outros vértices do quadrado. Vamos chamar os vértices de , , , e , onde é adjacente a . A reta passa pelo lado .

Passo 6

A distância entre os vértices adjacentes do quadrado será o comprimento do lado. Vamos chamar esse comprimento de . Para encontrar , precisamos calcular a distância entre a origem e a reta .

Passo 7

A distância de um ponto a uma reta é dada por:
Aqui, , , , e o ponto é .

Passo 8

Substituindo os valores:
Esse é o comprimento do lado do quadrado, .

Passo 9

Agora, para encontrar a área do quadrado, usamos a fórmula:
Á

Resposta

A área do quadrado é unidades quadradas.

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