O ponto P=(0,0) é um vértice de um quadrado que tem um dos seus lados não adjacentes a P sobre a reta x-2 y+5=0. Qual é a área do quadrado?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um ponto P=(0,0) que é um vértice de um quadrado. Além disso, um dos lados que não estão conectados diretamente a P está sobre a reta x - 2 y + 5 = 0. Vamos usar Geometria Analítica para encontrar a área desse quadrado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta onde está um dos lados do quadrado. A equação da reta é x - 2 y + 5 = 0. Vamos reescrever essa equação na forma padrão para identificar sua inclinação.

Passo 3

Rearranjando a equação: x - 2 y + 5 = 0 -2y = -x -5 y = 12x + 52. Então, a inclinação da reta é m = 12.

Passo 4

Sabemos que, em um quadrado, os lados são perpendiculares entre si. Portanto, a inclinação da reta que conecta o ponto P=(0,0) a um dos vértices adjacentes do quadrado será o negativo do inverso da inclinação da reta dada. Ou seja, mperp = -1m = -2.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar as coordenadas dos outros vértices do quadrado. Vamos chamar os vértices de A(0,0), B, C, e D, onde AB é adjacente a A. A reta x - 2 y + 5 = 0 passa pelo lado CD.

Passo 6

A distância entre os vértices adjacentes do quadrado será o comprimento do lado. Vamos chamar esse comprimento de L. Para encontrar L, precisamos calcular a distância entre a origem A(0,0) e a reta CD.

Passo 7

A distância d de um ponto (x0, y0) a uma reta ax + by + c = 0 é dada por:
d = |a x0 + b y0 + c|raiza^2 + b^2
Aqui, a=1, b=-2, c=5, e o ponto é (0,0).

Passo 8

Substituindo os valores:
d = |1 cdot 0 + (-2) cdot 0 + 5|raiz1^2 + (-2)^2 = 5raiz1 + 4 = 5raiz5 = raiz5
Esse é o comprimento do lado do quadrado, L = raiz5.

Passo 9

Agora, para encontrar a área do quadrado, usamos a fórmula:
Área = L^2 = (raiz5)^2 = 5 Á

Resposta

A área do quadrado é 5 unidades quadradas.

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