O ponto
é um vértice de um quadrado que tem um dos seus lados não adjacentes a
sobre a reta
. Qual é a área do quadrado?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um ponto
que é um vértice de um quadrado. Além disso, um dos lados que não estão conectados diretamente a
está sobre a reta
. Vamos usar Geometria Analítica para encontrar a área desse quadrado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a reta onde está um dos lados do quadrado. A equação da reta é
. Vamos reescrever essa equação na forma padrão para identificar sua inclinação.
Passo 3
Rearranjando a equação:
→
→
. Então, a inclinação da reta é
.
Passo 4
Sabemos que, em um quadrado, os lados são perpendiculares entre si. Portanto, a inclinação da reta que conecta o ponto
a um dos vértices adjacentes do quadrado será o negativo do inverso da inclinação da reta dada. Ou seja,
.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar as coordenadas dos outros vértices do quadrado. Vamos chamar os vértices de
,
,
, e
, onde
é adjacente a
. A reta
passa pelo lado
.
Passo 6
A distância entre os vértices adjacentes do quadrado será o comprimento do lado. Vamos chamar esse comprimento de
. Para encontrar
, precisamos calcular a distância entre a origem
e a reta
.
Passo 7
A distância
de um ponto
a uma reta
é dada por:
Aqui,
,
,
, e o ponto é
.
Passo 8
Substituindo os valores:
Esse é o comprimento do lado do quadrado,
.
Passo 9
Agora, para encontrar a área do quadrado, usamos a fórmula:
Resposta
A área do quadrado é
unidades quadradas.
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e
. Determine o valor de
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.
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.