Verifique quais dos seguintes conjuntos de vetores do espaço vetorial , são linearmente independentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar quais conjuntos de vetores no espaço vetorial são linearmente independentes. Isso envolve entender se os vetores dados são independentes ou não, usando conceitos de álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com combinações lineares e talvez montar uma matriz para facilitar a visualização.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se nenhum vetor do conjunto puder ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Ou seja, não existe uma maneira de multiplicar cada vetor por um número e somá-los para obter o vetor zero, a não ser que todos os números sejam zero.
Agora, vamos olhar os vetores que temos:
Para verificar a independência linear, vamos montar uma matriz onde cada vetor é uma coluna:
A próxima etapa é calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes. Se for zero, eles são linearmente dependentes.
Vamos calcular o determinante de :
Calculando cada parte:
  • Primeiro termo:
  • Segundo termo:
  • Terceiro termo:
Somando tudo:
Como o determinante é zero, isso nos diz que os vetores são linearmente dependentes. Ou seja, pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação dos outros.

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes.

Exercícios relacionados

O ponto é um vértice de um quadrado que tem um dos seus lados não adjacentes a sobre a reta . Qual é a área do quadrado?
Calcule o valor de para que os pares de retas abaixo sejam coplanares.
Determine o subespaço gerado por .