Calcule o valor principal na forma
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o valor principal de
na forma
. Esse problema está relacionado com os números complexos e o logaritmo complexo. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o logaritmo de um número complexo e expressá-lo na forma
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um número complexo pode ser representado na forma
, onde
e
são números reais. No nosso caso, temos
, onde
e
.
Passo 3
Para calcular o logaritmo de um número complexo, usamos a fórmula:
Aqui,
é o módulo de
e
é o argumento de
, que é o ângulo que o número complexo forma com o eixo real no plano complexo.
Passo 4
Vamos calcular o módulo
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o argumento
. O argumento é calculado usando a função arco-tangente:
Sabemos que
(já que a tangente de
é
).
Passo 6
Substituindo os valores de
e
na fórmula do logaritmo:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Portanto, o valor principal de
na forma
é:
Resposta
Exercícios relacionados
Sendo
um inteiro positivo, prove que
Encontre a solução geral das EDOs abaixo.
Ache a solução particular dos problemas de valor inicial (PVI) abaixo.
O raio de convergência da série é: