Encontre a solução geral das EDOs abaixo.
x y' = 1/2 y^2 + y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que a gente tem aqui: . O conteúdo que vamos usar é o das equações diferenciais de primeira ordem, especificamente a equação de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar rearranjar a equação e fazer uma substituição esperta que facilita tudo.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão de uma EDO de primeira ordem. A gente tem:
Vamos dividir os dois lados por para isolar :

Passo 3

Agora, identificamos que essa é uma equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
Comparando com a nossa equação:
Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos a substituição . No nosso caso, , então:

Passo 4

Vamos substituir e na equação original usando :
A equação original rearranjada é:
Multiplicando ambos os lados por :
Mas como , então . Substituindo:

Passo 5

Agora, temos uma equação linear em :
Vamos resolver essa equação usando um fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicando toda a equação por :
Perceba que o lado esquerdo é a derivada de :
Integrando ambos os lados:

Passo 6

Lembrando que , substituímos de volta para encontrar :
Podemos renomear a constante para simplesmente , já que também é uma constante arbitrária.

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

Encontre a equação da reta tangente e da reta normal a cada uma das curvas indicadas nos respectivos pontos dados.
B) y = x^3, quando x = 1
Calcule d/y d/x, para cada uma das funções a seguir
H) x^2 / 2 + y^2 / 2 = 5
Sendo n um inteiro positivo, prove que
cl D^(2 n) sen t=(-1)^n sen t, & D^(2 n) cos t=(-1)^n cos t D^(2 n) sen omega t=(-omega)^n sen omega t, & D^(2 n) cos omega t=(-omega^2)^n cos omega t
Calcule o valor principal na forma a + i b: log(6 - i * 6)