Encontre a solução geral das EDOs abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que a gente tem aqui:
. O conteúdo que vamos usar é o das equações diferenciais de primeira ordem, especificamente a equação de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar rearranjar a equação e fazer uma substituição esperta que facilita tudo.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão de uma EDO de primeira ordem. A gente tem:
Vamos dividir os dois lados por
para isolar
:
Passo 3
Agora, identificamos que essa é uma equação de Bernoulli, que tem a forma geral:
Comparando com a nossa equação:
Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos a substituição
. No nosso caso,
, então:
Passo 4
Vamos substituir
e
na equação original usando
:
A equação original rearranjada é:
Multiplicando ambos os lados por
:
Mas como
, então
. Substituindo:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear em
:
Vamos resolver essa equação usando um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicando toda a equação por
:
Perceba que o lado esquerdo é a derivada de
:
Integrando ambos os lados:
Passo 6
Lembrando que
, substituímos de volta para encontrar
:
Podemos renomear a constante
para simplesmente
, já que
também é uma constante arbitrária.
Resposta
A solução geral da EDO é:
onde
é uma constante arbitrária.
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Encontre a equação da reta tangente e da reta normal a cada uma das curvas indicadas nos respectivos pontos dados.
B) , quando
B)
Calcule
, para cada uma das funções a seguir
H)
H)
Sendo
um inteiro positivo, prove que
Calcule o valor principal na forma
: