O raio de convergência da série é:
sum n^2 n(n!)^n x^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o raio de convergência da série . Isso está no campo do estudo de séries de potências na análise matemática. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele nos diz o intervalo de valores de para os quais a série converge. Para séries como essa, usamos o Teste da Razão, que compara o termo geral da série com o próximo termo.

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
onde .

Passo 4

Vamos então calcular an+1an = (n+1)^2(n+1)((n+1)!)^n+1 x^n+1 cdot (n!)^nn^2n x^n :
an+1an = ( n+1n )^2n cdot (n+1)^2(n+1)! cdot x
Isso simplifica para:

Passo 5

Simplificando ainda mais, sabemos que an+1an = (1 + 1n)^2n cdot (n+1)^2(n+1) cdot n! cdot x , então:
= (1 + 1n)^2n cdot n+1n! cdot x

Passo 6

Sabemos que L = limn to infty e^2 cdot 0 cdot |x| = 0 tende para quando vai para infinito. Então, tende para . E tende a zero muito rápido.
Portanto, o limite será:

Passo 7

Para que a série convirja pelo Teste da Razão, precisamos que . Aqui, sempre, então a série converge para qualquer valor de .

Resposta

O raio de convergência da série é . Ou seja, a série converge para qualquer valor real de .

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