Sendo
um inteiro positivo, prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar algumas igualdades envolvendo derivadas de funções trigonométricas, como seno e cosseno, aplicadas várias vezes. O conteúdo aqui é de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções como
e
e entender o que acontece quando derivamos essas funções múltiplas vezes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como derivar as funções seno e cosseno. A derivada de
em relação a
é
, e a derivada de
é
. Ou seja:
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece quando derivamos essas funções mais de uma vez. Se derivarmos
novamente, temos:
Ou seja, a segunda derivada de
é
.
Passo 4
Continuando esse processo, a terceira derivada será:
E a quarta derivada:
Perceba que a cada quatro derivações, voltamos à função original
. Isso significa que há um padrão cíclico a cada 4 derivadas.
Passo 5
Agora, vamos generalizar isso para a
-ésima derivada de
. Observamos que a cada duas derivações, a função
vira
. Então, para a
-ésima derivada:
Isso porque cada par de derivações multiplica a função original por
, e isso acontece
vezes.
Passo 6
Vamos aplicar o mesmo raciocínio para a função
. A primeira derivada de
é
, e a segunda derivada é:
Seguindo o mesmo padrão cíclico, temos que:
Passo 7
Agora, vamos considerar as funções com
, ou seja,
e
. Aqui, precisamos usar a regra da cadeia ao derivar. A derivada de
é:
A segunda derivada será:
Passo 8
Seguindo o mesmo padrão, para a
-ésima derivada de
:
E para
:
Resposta
Portanto, para todo inteiro positivo
, temos que
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral das EDOs abaixo.
Encontre a equação da reta tangente e da reta normal a cada uma das curvas indicadas nos respectivos pontos dados.
B) , quando
B)
Calcule o valor principal na forma
:
Ache a solução particular dos problemas de valor inicial (PVI) abaixo.