Sendo n um inteiro positivo, prove que
cl D^(2 n) sen t=(-1)^n sen t, & D^(2 n) cos t=(-1)^n cos t D^(2 n) sen omega t=(-omega)^n sen omega t, & D^(2 n) cos omega t=(-omega^2)^n cos omega t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar algumas igualdades envolvendo derivadas de funções trigonométricas, como seno e cosseno, aplicadas várias vezes. O conteúdo aqui é de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas de funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções como sin t e cos t e entender o que acontece quando derivamos essas funções múltiplas vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como derivar as funções seno e cosseno. A derivada de sin t em relação a t é cos t, e a derivada de cos t é -sin t. Ou seja:
ddt sin t = cos t ddt cos t = -sin t

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando derivamos essas funções mais de uma vez. Se derivarmos sin t novamente, temos:
d^2dt^2 sin t = ddt cos t = -sin t
Ou seja, a segunda derivada de sin t é -sin t.

Passo 4

Continuando esse processo, a terceira derivada será:
d^3dt^3 sin t = ddt (-sin t) = -cos t
E a quarta derivada:
d^4dt^4 sin t = ddt (-cos t) = sin t
Perceba que a cada quatro derivações, voltamos à função original sin t. Isso significa que há um padrão cíclico a cada 4 derivadas.

Passo 5

Agora, vamos generalizar isso para a 2n-ésima derivada de sin t. Observamos que a cada duas derivações, a função sin t vira -sin t. Então, para a 2n-ésima derivada:
D^(2n) sin t = (-1)^n sin t
Isso porque cada par de derivações multiplica a função original por -1, e isso acontece n vezes.

Passo 6

Vamos aplicar o mesmo raciocínio para a função cos t. A primeira derivada de cos t é -sin t, e a segunda derivada é:
d^2dt^2 cos t = ddt (-sin t) = -cos t
Seguindo o mesmo padrão cíclico, temos que:
D^(2n) cos t = (-1)^n cos t

Passo 7

Agora, vamos considerar as funções com omega t, ou seja, sin omega t e cos omega t. Aqui, precisamos usar a regra da cadeia ao derivar. A derivada de sin omega t é:
ddt sin omega t = omega cos omega t
A segunda derivada será:
d^2dt^2 sin omega t = omega ddt cos omega t = -omega^2 sin omega t

Passo 8

Seguindo o mesmo padrão, para a 2n-ésima derivada de sin omega t:
D^(2n) sin omega t = (-omega^2)^n sin omega t = (-omega)^n sin omega t
E para cos omega t:
D^(2n) cos omega t = (-omega^2)^n cos omega t

Resposta

Portanto, para todo inteiro positivo n, temos que
cl D^(2n) sin t = (-1)^n sin t, & D^(2n) cos t = (-1)^n cos t D^(2n) sin omega t = (-omega)^n sin omega t, & D^(2n) cos omega t = (-omega^2)^n cos omega t

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