Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o valor de para que as retas e sejam ortogonais. Isso está relacionado à geometria analítica, especificamente sobre vetores diretores das retas. Para isso, vamos precisar identificar os vetores diretores de cada reta e usar o conceito de produto escalar para verificar a ortogonalidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações das retas. A reta y = m x - 3 z = -2 x está definida por:
x = -1 + 2 t y = 3 - t z = 5 t
E a reta está definida por:
Para trabalhar com vetores diretores, vamos reescrever essas equações de forma paramétrica.
Passo 3
Para a reta y = m x - 3 z = -2 x , vamos usar r = 0 -3 0 + x 1 m -2 como parâmetro. Assim, podemos expressar 1 m -2 e em função de :
Podemos escrever a reta na forma vetorial:
Aqui, o vetor diretor de é .
Passo 4
Para a reta s = -1 3 0 + t 2 -1 5 , as equações já estão na forma paramétrica com o parâmetro 2 -1 5 . Podemos escrever a reta na forma vetorial:
Aqui, o vetor diretor de é .
Passo 5
Agora que temos os vetores diretores das duas retas, 1 m -2 e 2 -1 5 , vamos usar o conceito de produto escalar para verificar a ortogonalidade.
Duas retas são ortogonais se o produto escalar de seus vetores diretores for igual a zero:
dr cdot ds = 0
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar:
dr cdot ds = (1)(2) + (m)(-1) + (-2)(5) = 2 - m - 10 = -m - 8
Para que as retas sejam ortogonais:
-m - 8 = 0
Passo 7
Resolvendo a equação para -m - 8 = 0 -m = 8 m = -8 :