Determine a equação da reta r que passa pelo ponto A(-2,1,3) e é ortogonal comum às retas:
r1:c x=2-t y=1+2 t z=-3 t e r2=x-1-3=z-1 ; y=2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar a equação da reta que passa pelo ponto e que é ortogonal (perpendicular) a duas retas dadas, e . Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de geometria analítica, como vetores diretores e condição de ortogonalidade entre vetores.

Passo 2

Vamos começar identificando os vetores diretores das retas r1:c x=2-t y=1+2 t z=-3 t e r2:x-1-3=z-1 ; y=2 . A reta x = 1 - 3s y = 2 z = -s está parametrizada por:
Aqui, o vetor diretor de é , pois os coeficientes de nas equações paramétricas representam as componentes do vetor diretor.
A reta está dada na forma simétrica:
Podemos reescrever a reta em forma paramétrica:
Então, o vetor diretor de é .

Passo 3

Como a reta d = d1 times d2 que queremos encontrar é ortogonal a e , o vetor diretor de deve ser perpendicular a ambos os vetores diretores e . Para que dois vetores sejam perpendiculares, seu produto escalar deve ser zero. Além disso, o vetor diretor de pode ser obtido pelo produto vetorial entre e :
Vamos calcular esse produto vetorial.

Passo 4

Calculando o produto vetorial d1 = (-1, 2, -3) d2 = (-3, 0, -1) d = i & j & k -1 & 2 & -3 -3 & 0 & -1 = i(2 cdot (-1) - (-3) cdot 0) - j((-1) cdot (-1) - (-3) cdot (-3)) + k((-1) cdot 0 - 2 cdot (-3)) :
= i(-2 - 0) - j(1 - 9) + k(0 + 6) = -2i + 8j + 6k
Portanto, o vetor diretor .

Passo 5

Agora que temos o vetor diretor x = x0 + a t y = y0 + b t z = z0 + c t e sabemos que a reta x = -2 - 2t y = 1 + 8t z = 3 + 6t passa pelo ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta :
Onde e . Assim, temos:

Resposta

A equação da reta boxed x = -2 - 2t y = 1 + 8t z = 3 + 6t é:

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