Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo A B C D, para
a) A(-1, O, 3), B(l, 1,2) e C(3,-2,5)
b) A(4, O, 1), B(5,1,3) e C(3,2,5)

Passo 1

Então, a gente tem um paralelogramo chamado ABCD. A gente sabe as coordenadas dos pontos A, B e C, e precisa descobrir as coordenadas do ponto D, que é o vértice oposto ao B. Para resolver isso, vamos usar propriedades dos paralelogramos e vetores. Vamos precisar entender que nos paralelogramos, os vetores dos lados opostos são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a parte a) do exercício. As coordenadas dadas são:
  • A(-1, 0, 3)
  • B(1, 1, 2)
  • C(3, -2, 5)
Para encontrar o ponto D, vamos usar a propriedade de que os vetores AB e DC são iguais. Ou seja:
AB = DC

Passo 3

Vamos calcular o vetor AB. Para isso, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B:
AB = B - A = (1 - (-1), 1 - 0, 2 - 3) = (2, 1, -1)

Passo 4

Agora, sabemos que DC = AB = (2, 1, -1). Como C é um dos pontos, podemos encontrar D usando:
D = C - AB = (3, -2, 5) - (2, 1, -1) = (3 - 2, -2 - 1, 5 - (-1)) = (1, -3, 6)

Passo 5

Pronto! Encontramos as coordenadas de D na parte a).
Agora, vamos para a parte b). As coordenadas são:
  • A(4, 0, 1)
  • B(5, 1, 3)
  • C(3, 2, 5)
Vamos usar o mesmo método.

Passo 6

Primeiro, calculamos o vetor AB:
AB = B - A = (5 - 4, 1 - 0, 3 - 1) = (1, 1, 2)

Passo 7

Usamos a propriedade DC = AB para encontrar D:
D = C - AB = (3, 2, 5) - (1, 1, 2) = (3 - 1, 2 - 1, 5 - 2) = (2, 1, 3)

Resposta

a) O vértice D é (1, -3, 6).
b) O vértice D é (2, 1, 3).

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