Determine o ângulo entre as retas
r:c x=1+t raiz2 y=t z=5-3 t e s:l x=0 y=0

Passo 1

Beleza! A gente precisa encontrar o ângulo entre duas retas no espaço 3D. As retas são dadas pelas equações paramétricas:
r:c x=1+t raiz2 y=t z=5-3 t e s:l x=0 y=0
Vamos usar conceitos de vetores diretores e produto escalar para resolver isso. Precisamos identificar os vetores diretores das retas e depois aplicar a fórmula do ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores de cada reta. O vetor diretor de uma reta nas equações paramétricas é dado pelos coeficientes das variáveis de parâmetro (neste caso, vr = ( raiz2, 1, -3 ) ).
  • Para a reta vs = ( 0, 0, 1 ) :
  • Para a reta :
    Observando a reta , vemos que e , mas falta a expressão para . Geralmente, assumimos que a reta passa pela origem e segue ao longo do eixo , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar dos vetores diretores vr cdot vs = vrx cdot vsx + vry cdot vsy + vrz cdot vsz e vr cdot vs = (raiz2) cdot 0 + 1 cdot 0 + (-3) cdot 1 = 0 + 0 - 3 = -3 . A fórmula do produto escalar é:
Substituindo os valores:

Passo 4

Vamos calcular as magnitudes (ou comprimentos) dos vetores diretores | v | = raiza^2 + b^2 + c^2 e | vr | = raiz (raiz2)^2 + 1^2 + (-3)^2 = raiz2 + 1 + 9 = raiz12 = 2raiz3 . A fórmula da magnitude de um vetor | vs | = raiz0^2 + 0^2 + 1^2 = raiz1 = 1 é:
Calculando para :
E para :

Passo 5

Agora, podemos usar a fórmula do ângulo entre dois vetores:
cos(theta) = vr cdot vs | vr | cdot | vs |
Substituindo os valores que já calculamos:
cos(theta) = -3 2raiz3 cdot 1 = -3 2raiz3 = - raiz3 2
Para encontrar o ângulo theta = arccos( - raiz3 2 ) , aplicamos a função inversa do cosseno:
Sabemos que .

Resposta

O ângulo entre as retas e é de 150 graus.

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