Calcule o valor dos seguintes limites envolvendo infinito:
© lim r -infty r+sen(r)2 r+7-5 sen(r).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim r -infty r + sin(r)2r + 7 - 5 sin(r)
Aqui, estamos lidando com limites que envolvem o infinito. Vamos precisar entender como os termos com e se comportam quando vai para menos infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar os termos da função. Sabemos que sempre está entre -1 e 1, ou seja, . Isso significa que, conforme se torna muito grande em valor absoluto (no caso, negativo), os termos se tornam insignificantes comparados aos termos que têm .

Passo 3

Agora, vamos simplificar a fração eliminando os termos que não afetam o limite quando r + sin(r)2r + 7 - 5 sin(r) = 1 + sin(r)r2 + 7r - 5 sin(r)r tende a menos infinito. Podemos fazer isso dividindo numerador e denominador por :
Aqui, percebemos que e vão para 0 quando tende a menos infinito, porque o numerador fica limitado enquanto o denominador cresce sem limite.

Passo 4

Simplificando ainda mais, já que 1 + 02 + 0 - 0 = 12 e tendem a 0:

Resposta

O limite é .

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