Calcule o valor dos seguintes limites envolvendo infinito:
©
.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, estamos lidando com limites que envolvem o infinito. Vamos precisar entender como os termos com
e
se comportam quando
vai para menos infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os termos da função. Sabemos que
sempre está entre -1 e 1, ou seja,
. Isso significa que, conforme
se torna muito grande em valor absoluto (no caso, negativo), os termos
se tornam insignificantes comparados aos termos que têm
.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a fração eliminando os termos que não afetam o limite quando
tende a menos infinito. Podemos fazer isso dividindo numerador e denominador por
:
Aqui, percebemos que
e
vão para 0 quando
tende a menos infinito, porque o numerador fica limitado enquanto o denominador cresce sem limite.
Passo 4
Simplificando ainda mais, já que
e
tendem a 0:
Resposta
O limite é
.
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Mostre que
é ortogonal a
sempre que
é uma constante. Dada uma função
derivável até pelo menos a primeira ordem:
a) Prove que tem norma 1
a) Prove que