Calcule o valor dos seguintes limites se existirem
lim s 0 e^s-e^-s2

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando lim s 0 e^s-e^-s2 se aproxima de 0 da expressão:
Aqui, estamos lidando com funções exponenciais e limites, que são conceitos de Cálculo. Para resolver isso, vamos usar o desenvolvimento em série de Taylor das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função exponencial pode ser expandida em uma série de Taylor em torno de 0:
e^s = 1 + s + s^22! + s^33! + dots
De maneira semelhante,
e^-s = 1 - s + s^22! - s^33! + dots

Passo 3

Agora, vamos subtrair e^s - e^-s = (1 + s + s^22! + s^33! + dots) - (1 - s + s^22! - s^33! + dots) de e^s - e^-s = 2s + 2s^33! + dots :
e^s - e^-s2 = s + s^33! + dots
Ao simplificar, os termos constantes e de , , etc., se cancelam, restando:
Dividindo por 2:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando lims 0 ( s + s^33! + dots ) = 0 se aproxima de 0. Observamos que todos os termos com elevado a alguma potência irão se aproximar de 0 quando tende a 0:

Resposta

O limite é igual a 0.

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