Um dos teoremas fundamentais em matemática é o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que afirma o seguinte:
Seja
uma função contínua e sejam
com
. Se
e
possuem sinais diferentes, então existe um ponto
tal que
.
Utilizando o TVI, justifique a seguinte afirmação: a função
possui uma raiz no intervalo
e outra no intervalo
. (Dica: Verifique o valor da função nos extremos do intervalo)
Seja
Utilizando o TVI, justifique a seguinte afirmação: a função
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos mostrar que ela tem pelo menos uma raiz no intervalo
e outra no intervalo
. Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que é um conceito da matemática que nos ajuda a garantir a existência de raízes em certos intervalos, desde que a função seja contínua e mude de sinal nos extremos do intervalo. Vamos precisar calcular os valores da função nos pontos finais de cada intervalo e verificar se ocorrem mudanças de sinal.
Passo 2
Vamos começar analisando o intervalo
. Primeiro, calculamos
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Observamos que
é positivo (
) e
é negativo (
). Como os valores têm sinais diferentes, segundo o TVI, existe pelo menos um ponto
no intervalo
onde
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o intervalo
. Calculamos
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Aqui,
é negativo (
) e
é positivo (
). Novamente, os sinais são diferentes, o que, de acordo com o TVI, garante que existe pelo menos um ponto
no intervalo
onde
.
Resposta
Portanto, utilizando o Teorema do Valor Intermediário, mostramos que a função
possui pelo menos uma raiz no intervalo
e outra no intervalo
.
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