Um dos teoremas fundamentais em matemática é o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que afirma o seguinte:
Seja uma função contínua e sejam com . Se e possuem sinais diferentes, então existe um ponto tal que .
Utilizando o TVI, justifique a seguinte afirmação: a função possui uma raiz no intervalo e outra no intervalo . (Dica: Verifique o valor da função nos extremos do intervalo)

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos mostrar que ela tem pelo menos uma raiz no intervalo e outra no intervalo . Para isso, vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que é um conceito da matemática que nos ajuda a garantir a existência de raízes em certos intervalos, desde que a função seja contínua e mude de sinal nos extremos do intervalo. Vamos precisar calcular os valores da função nos pontos finais de cada intervalo e verificar se ocorrem mudanças de sinal.

Passo 2

Vamos começar analisando o intervalo . Primeiro, calculamos e .
Calculando :
Calculando :
Observamos que é positivo ( ) e é negativo ( ). Como os valores têm sinais diferentes, segundo o TVI, existe pelo menos um ponto no intervalo onde .

Passo 3

Agora, vamos analisar o intervalo . Calculamos e .
Calculando :
Calculando :
Aqui, é negativo ( ) e é positivo ( ). Novamente, os sinais são diferentes, o que, de acordo com o TVI, garante que existe pelo menos um ponto no intervalo onde .

Resposta

Portanto, utilizando o Teorema do Valor Intermediário, mostramos que a função possui pelo menos uma raiz no intervalo e outra no intervalo .

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