Determine a equação do plano tangente à S2 (cilindro) no ponto 1,0,51;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a equação do plano tangente ao cilindro no ponto . Aqui, estamos lidando com Geometria Analítica, especificamente com planos tangentes a superfícies. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação do cilindro e como encontrar o plano que “toca” o cilindro exatamente nesse ponto sem cortá-lo.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber qual é a equação do cilindro . Como o ponto dado é , vamos supor que o cilindro é circular e alinhado ao eixo . A equação padrão de um cilindro circular com raio 1 alinhado ao eixo é:
Isso significa que, para qualquer valor de , a base do cilindro é um círculo de raio 1 no plano .

Passo 3

Agora, queremos encontrar o plano tangente a esse cilindro no ponto . Um plano tangente a uma superfície em um ponto específico é aquele que toca a superfície naquele ponto e é “paralelo” à superfície naquele local.
Para encontrar a equação do plano tangente, precisamos do gradiente da função que define o cilindro. A função que representa o cilindro é:
O gradiente dessa função é:

Passo 4

O gradiente nos dá um vetor normal ao cilindro no ponto considerado. No ponto , substituindo na expressão do gradiente:
Esse vetor é perpendicular ao plano tangente que queremos encontrar.

Passo 5

Agora, usamos a equação geral do plano que é dada por:
Onde são as componentes do vetor normal e é o ponto pelo qual o plano passa.
Substituindo os valores que temos:
Simplificando isso:

Resposta

A equação do plano tangente ao cilindro no ponto é:

Exercícios relacionados