Determine a equação do plano tangente à
(cilindro) no ponto
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a equação do plano tangente ao cilindro
no ponto
. Aqui, estamos lidando com Geometria Analítica, especificamente com planos tangentes a superfícies. Para resolver isso, vamos precisar entender a equação do cilindro e como encontrar o plano que “toca” o cilindro exatamente nesse ponto sem cortá-lo.
Passo 2
Primeiro, precisamos saber qual é a equação do cilindro
. Como o ponto dado é
, vamos supor que o cilindro é circular e alinhado ao eixo
. A equação padrão de um cilindro circular com raio 1 alinhado ao eixo
é:
Isso significa que, para qualquer valor de
, a base do cilindro é um círculo de raio 1 no plano
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar o plano tangente a esse cilindro no ponto
. Um plano tangente a uma superfície em um ponto específico é aquele que toca a superfície naquele ponto e é “paralelo” à superfície naquele local.
Para encontrar a equação do plano tangente, precisamos do gradiente da função que define o cilindro. A função que representa o cilindro é:
O gradiente dessa função é:
Passo 4
O gradiente
nos dá um vetor normal ao cilindro no ponto considerado. No ponto
, substituindo na expressão do gradiente:
Esse vetor
é perpendicular ao plano tangente que queremos encontrar.
Passo 5
Agora, usamos a equação geral do plano que é dada por:
Onde
são as componentes do vetor normal e
é o ponto pelo qual o plano passa.
Substituindo os valores que temos:
Simplificando isso:
Resposta
A equação do plano tangente ao cilindro
no ponto
é: