Calcule o valor dos seguintes limites. lim k 0 raiz3 k+1-1k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse problema está ligado ao cálculo de limites, mais especificamente envolvendo funções radicais. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões com raízes e aplicar o conceito de limite quando se aproxima de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir raiz3(0) + 1 - 10 = raiz1 - 10 = 1 - 10 = 00 diretamente na expressão para ver se conseguimos um resultado imediato:
Isso nos dá uma forma indeterminada , o que significa que precisamos manipular a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Uma técnica útil para resolver limites com radicais é racionalizar o numerador. Isso significa multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador. O conjugado de raiz3k + 1 - 1k times raiz3k + 1 + 1raiz3k + 1 + 1 = (raiz3k + 1)^2 - 1^2k(raiz3k + 1 + 1) é (raiz3k + 1)^2 - 1^2 = (3k + 1) - 1 = 3k . Vamos fazer isso:
3kk(raiz3k + 1 + 1) = 3raiz3k + 1 + 1
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora que simplificamos, podemos calcular o limite substituindo lim k 0 3raiz3(0) + 1 + 1 = 3raiz1 + 1 = 31 + 1 = 32 na expressão simplificada:

Resposta

O valor do limite é .

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