Calcule o valor dos seguintes limites usando as propriedades:
$(h)
.
$(h)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite da expressão
. Isso está relacionado ao estudo de limites em funções de duas variáveis, usando propriedades de funções trigonométricas e limites. Para resolver, vamos precisar manipular as funções seno e utilizar aproximações quando as variáveis estão próximas de certos valores.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o numerador
. Usando a identidade trigonométrica para
, que é:
Aplicando isso no nosso caso:
Então, substituindo na expressão original:
Podemos fatorar
:
Passo 3
Agora, vamos analisar cada parte quando
:
-
: Quando está próximo de 0, podemos usar a aproximação . -
: Quando está próximo de , , e como , . -
: Novamente, quando , . -
: Quando , , e podemos usar a aproximação .
Passo 4
Substituindo essas aproximações na expressão:
Simplificando:
Passo 5
Agora, a expressão do limite fica:
Podemos dividir cada termo do numerador por
:
Passo 6
Agora, avaliando o limite:
-
quando é . -
quando e é 0, pois .
Então, o limite total é:
Resposta
O valor do limite é
.
Exercícios relacionados
Calcule o valor dos seguintes limites usando as propriedades:
$(g) ;
$(g)
Calcule o valor dos seguintes limites usando as propriedades:
$(d) ;
$(d)
Considere a função
, para
. Existe
tal que
? Justifique sua resposta sem usar calculadora. (Valores aproximados:
.
A função
é contínua em
? Justifique.