Calcule o valor dos seguintes limites usando as propriedades:
$(h) h.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite da expressão . Isso está relacionado ao estudo de limites em funções de duas variáveis, usando propriedades de funções trigonométricas e limites. Para resolver, vamos precisar manipular as funções seno e utilizar aproximações quando as variáveis estão próximas de certos valores.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o numerador . Usando a identidade trigonométrica para , que é:
Aplicando isso no nosso caso:
Então, substituindo na expressão original:
Podemos fatorar :

Passo 3

Agora, vamos analisar cada parte quando :
  1. sen x: Quando x está próximo de 0, podemos usar a aproximação .
  2. : Quando y está próximo de pi, , e como , .
  3. cos(x): Novamente, quando x -> 0, .
  4. : Quando , , e podemos usar a aproximação .

Passo 4

Substituindo essas aproximações na expressão:
Simplificando:

Passo 5

Agora, a expressão do limite fica:
Podemos dividir cada termo do numerador por x y:

Passo 6

Agora, avaliando o limite:
  1. quando é .
  2. quando x -> 0 e é 0, pois x -> 0.
Então, o limite total é:

Resposta

O valor do limite é .

Exercícios relacionados

Calcule o valor dos seguintes limites usando as propriedades:
$(g) g;
Calcule o valor dos seguintes limites usando as propriedades:
$(d) d;
Considere a função f(x) = e^(sen(x)), para x in [0, 2 pi]. Existe x0 em [0, 2 pi] tal que f(x0) = pi / 2 ? Justifique sua resposta sem usar calculadora. (Valores aproximados: e ≈ 2,78 ; pi ≈ 3,14.
A função f(x) = { 2 se x ≥ 1, 1 se x < 1 } é contínua em x = 1 ? Justifique.