A função
é contínua em
? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função
definida por:
é contínua no ponto
. Vamos falar sobre continuidade de funções, que é basicamente garantir que não tem “saltos” ou “buracos” no gráfico da função naquele ponto. Para isso, vamos precisar entender o que é o limite da função e comparar com o valor da função no ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função
é contínua em um ponto
se três condições forem atendidas:
- A função está definida em
(ou seja, existe). - O limite da função quando
se aproxima de existe. - O limite da função quando
se aproxima de é igual ao valor da função naquele ponto ( ).
Passo 3
Vamos verificar cada uma dessas condições para
:
-
Função definida em 1: Olhando para a definição da função, quando
, . Portanto, . A função está definida em . -
Existência do limite em 1: Precisamos verificar o limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda ( ) e pela direita ( ). -
Limite pela esquerda (
): Quando , . Então, . -
Limite pela direita (
): Quando , . Então, .
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes (), o limite geral não existe. -
-
Igualdade do limite com o valor da função: Como o limite não existe, não precisa nem comparar com
. Já sabemos que a terceira condição não é satisfeita.
Resposta
Não, a função não é contínua em
.
Exercícios relacionados
Considere a função
, para
. Existe
tal que
? Justifique sua resposta sem usar calculadora. (Valores aproximados:
.
Calcule o valor dos seguintes limites usando as propriedades:
$(h) .
$(h)
Se
, determine o valor de
.
A força gravitacional exercida pela Terra sobre uma unidade de massa a uma distância
do centro do planeta é
onde
é a massa da Terra,
é seu raio e
é a constante gravitacional. A função
é contínua? Justifique.