A função f(x) = { 2 se x ≥ 1, 1 se x < 1 } é contínua em x = 1 ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a função definida por:
é contínua no ponto . Vamos falar sobre continuidade de funções, que é basicamente garantir que não tem “saltos” ou “buracos” no gráfico da função naquele ponto. Para isso, vamos precisar entender o que é o limite da função e comparar com o valor da função no ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se três condições forem atendidas:
  1. A função está definida em (ou seja, existe).
  2. O limite da função quando se aproxima de existe.
  3. O limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função naquele ponto ( ).

Passo 3

Vamos verificar cada uma dessas condições para :
  1. Função definida em 1: Olhando para a definição da função, quando , . Portanto, . A função está definida em .
  2. Existência do limite em 1: Precisamos verificar o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ) e pela direita ( ).
    • Limite pela esquerda ( ): Quando , . Então, .
    • Limite pela direita ( ): Quando , . Então, .
    Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes ( ), o limite geral não existe.
  3. Igualdade do limite com o valor da função: Como o limite não existe, não precisa nem comparar com . Já sabemos que a terceira condição não é satisfeita.

Resposta

Não, a função não é contínua em .

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