Considere a função f(x) = e^(sen(x)), para x in [0, 2 pi]. Existe x0 em [0, 2 pi] tal que f(x0) = pi / 2 ? Justifique sua resposta sem usar calculadora. (Valores aproximados: e ≈ 2,78 ; pi ≈ 3,14.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função definida no intervalo . Queremos saber se existe algum valor nesse intervalo tal que . Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta e quais são seus valores mínimos e máximos nesse intervalo.

Passo 2

Vamos analisar o comportamento da função no intervalo . Sabemos que:
Isso significa que o seno pode variar de -1 a 1 para qualquer entre 0 e .

Passo 3

Agora, vamos usar essa informação para encontrar os valores mínimo e máximo da função . Como é uma função crescente, os valores mínimo e máximo de correspondem aos valores mínimo e máximo de .
í
á
Portanto, a função varia entre aproximadamente 0,3679 e 2,78 no intervalo considerado.

Passo 4

Agora, devemos verificar se o valor está dentro desse intervalo. Sabemos que:
ã
Comparamos esse valor com o intervalo dos valores de :

Resposta

Sim, existe tal que .

Exercícios relacionados

Calcule o valor dos seguintes limites usando as propriedades:
$(h) h.
Calcule o valor dos seguintes limites usando as propriedades:
$(g) g;
A função f(x) = { 2 se x ≥ 1, 1 se x < 1 } é contínua em x = 1 ? Justifique.
Se lim (x, y) (1,1)x f(x, y)+e^y-x[ln (x^2-y^2)-ln (x-y)]=ln 2, determine o valor de lim (x, y) (1,1) f(x, y).